1 . 已知双曲线 的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
(1)求双曲线的方程；
(2)经过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点，求的面积的取值范围．

2 . 已知双曲线与直线：（）有唯一的公共点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，其中点，在第一象限.
(1)探求参数，满足的关系式；
(2)若为坐标原点，为双曲线的左焦点，证明：.

3 . 已知双曲线的虚轴长为2，其中一条渐近线方程为.且，分别是双曲线的左、右顶点.

(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于，两点，若直线，的斜率分别为，.
①试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
②设，，，若，（），求的面积.

4 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.

5 . 已知圆，，动圆与圆，均外切，记圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)直线过点，且与曲线交于两点，满足，求直线的方程．

7 . 已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．

8 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.

9 . 已知双曲线（，）的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)设，是双曲线右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线交AB于，点的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

10 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求双曲线的方程；
(2)若双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交于两点不是左右顶点），且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.