1 . 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的长轴为直径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点的动直线与椭圆的两个交点为，求的面积S的取值范围.

2 . 已知椭圆的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为，过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点垂直于的直线与轴交于点，且，求的值.

3 . 已知椭圆的离心率为,过右焦点作垂直于椭圆长轴的直线交椭圆于两点，且为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2) 设直线与椭圆相交于两点,若.
①求的值；
②求的面积的最小值.

4 . 已知斜率为，且在轴上的截距为正的直线与圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，则__________．

5 . 已知椭圆经过，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点作直线交椭圆于两点，求四边形面积的最大值（为坐标原点）.

6 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为,斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积.

7 . 椭圆的离心率为，是的两个焦点，过的直线与交于两点，则的最大值等于__________．

8 . 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点.
(1)求E的方程；
(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程.

9 . 设、是椭圆上的两点，已知向量，，若且椭圆的离心率，短轴长为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
(3)试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

10 . 设椭圆C₁：的左、右焦点分别是F₁、F₂，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C₂：与y轴的交点为B，且经过F₁，F₂点．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C₂上的一动点，过点N作抛物线C₂的切线交椭圆C₁于P、Q两点，求面积的最大值．