1 . 设直线l：y=2x﹣1与双曲线（，）相交于A、B两个不
同的点，且（O为原点）．
（1）判断是否为定值，并说明理由；
（2）当双曲线离心率时，求双曲线实轴长的取值范围．

2 . 已知命题：“双曲线任意一点到直线的距离分别记作，则为定值”为真命题.
（1）求出的值.
（2）已知直线 关于y轴对称且使得上的任意点到的距离满足为定值，求的方程.
（3）已知直线是与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆交于两点，求的最大值.

3 . 已知点F₁、F₂为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程是x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂，求的值；
（3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|．

4 . 已知双曲线的两个焦点为的曲线C上.
（1）求双曲线C的方程；
（2）记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

5 . P(x₀，y₀)(x₀≠±a)是双曲线E：(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左，右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．

6 . 已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．

7 . 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线、的斜率分别为、，证明；
（Ⅲ）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知双曲线的左右焦点分别为 ，.
(1)若双曲线右支上一点使得的面积为，求点的坐标；
(2)已知为坐标原点，圆：与双曲线右支交于，两点，点为双曲线上异于，的一动点，若直线，与轴分别交于点，，求证：为常数.

9 . 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

10 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，动直线：与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为．

（1）求的取值范围，并求的最小值；
（2）记直的斜率为，直线的斜率为，那么是定值吗？证明你的结论．