1 . 已知A，B是抛物线E：上不同的两点，点P在x轴下方，PA与抛物线E交于点C，PB与抛物线E交于点D，且满足，其中λ是常数，且．
(1)设AB，CD的中点分别为点M，N，证明：MN垂直于x轴；
(2)若点P为半圆上的动点，且，求四边形ABDC面积的最大值．

2 . 已知抛物线，过点的动直线与交于点，且为定值.
(1)求的方程
(2)若抛物线在点处的切线交于点，求证：
①点在定直线上
②若为的焦点，则.

3 . 已知点A，B是抛物线x²=2py(p为常数且p>0)上不同于坐标原点O的两个点，且.
(1)求证：直线AB过定点；
(2)过点A、B分别作抛物线的切线，两切线相交于点M，记OMA、OAB、OMB的面积分别为S₁、S₂、S₃;是否存在定值使得=S₁S₃?若存在，求出值；若不存在，请说明理由.

4 . 如图，已知抛物线上有一动点，M为y轴上的动点，设，连接与交于点B，过B作的切线交的延长线于点H，连接交C于点E，连接交y轴于点G，分别记的面积为.

(1)若，求p；
(2)若，求证：是之间的一个定值（不必求出定值）.

5 . 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线M：．P，Q，R为M上相异的三点，且，与负半轴交于点A，RQ，PQ分别与正半轴交于点B，C，记点．
(1)证明：；
(2)若B为M的焦点，当最大时，求的值．

6 . 若A、B是抛物线上的不同两点，弦（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦是点P的一条“相关弦”．已知当时，点存在无穷多条“相关弦”．给定．
(1)证明：点的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；
(2)试问：点的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用表示）；若不存在，请说明理由．

7 . 已知点P是抛物线C：的顶点，过点的直线l交C于A，B两点，点M是△的外接圆的圆心.
(1)试问：直线l与点M的轨迹是否有交点？若有，请求出交点坐标；若没有，请说明理由；
(2)若在点M的轨迹上存在不关于y轴对称的两点G，H，使直线PG与直线PH关于y轴对称，求证：直线GH必过定点.

8 . 已知曲线C的方程为，点D的坐标为，点P的坐标为．
(1)设E是曲线C上的点，且E到D的距离等于4，求E的坐标；
(2)设A，B是曲线C上横坐标不等于1的两个不同的动点，直线PA，PB与y轴分别交于M、N两点，线段MN的垂直平分线经过点P．证明：直线AB的斜率为定值．

9 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线：和点.点在上，且.
(1)求的方程；
(2)若过点作两条直线，，与相交于，两点，与相交于，两点线段，中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，.证明：，且为定值.

10 . 已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点．
(1)设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值；
(2)设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值．