1 . 已知椭圆C:的短轴长为4,过右焦点F的动直线与C交于A,B两点,点A,B在x轴上的投影分别为,(在的左侧);当直线的倾斜角为时,线段的中点坐标为.
(1)求的方程;
(2)若圆:,判断以线段为直径的圆与圆的位置关系,并说明理由;
(3)若直线与直线交于点M,的面积为,求直线的方程.
(1)求的方程;
(2)若圆:,判断以线段为直径的圆与圆的位置关系,并说明理由;
(3)若直线与直线交于点M,的面积为,求直线的方程.
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2 . 双曲线的焦点为(在下方),虚轴的右端点为,过点且垂直于轴的直线交双曲线于点(在第一象限),与直线交于点,记的周长为的周长为.
(1)若的一条渐近线为,求的方程;
(2)已知动直线与相切于点,过点且与垂直的直线分别交轴,轴于两点,为线段上一点,设为常数.若为定值,求的最大值.
(1)若的一条渐近线为,求的方程;
(2)已知动直线与相切于点,过点且与垂直的直线分别交轴,轴于两点,为线段上一点,设为常数.若为定值,求的最大值.
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3 . 已知函数为定义在上的函数的导函数,为奇函数,为偶函数,且,则下列说法正确的有( )
A. | B. |
C. | D. |
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4 . 若在上恒成立,则的最大值为( )
A. | B. | C. | D. |
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5 . 双曲线具有光学性质,从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E:的左、右焦点分别为,,从发出的光线经过图中的A,B两点反射后,分别经过点C和D,且,,则E的离心率为( )
A. | B. | C. | D. |
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6 . 已知点是圆上的动点,,是线段上一点,且,设点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程;
(2)设不过原点的直线与交于两点,且直线的斜率的乘积为.平面上一点满足,连接交于点(点在线段上且不与端点重合).试问的面积是否为定值?若是,求出定值;若不是定值,说明理由.
(1)求轨迹的方程;
(2)设不过原点的直线与交于两点,且直线的斜率的乘积为.平面上一点满足,连接交于点(点在线段上且不与端点重合).试问的面积是否为定值?若是,求出定值;若不是定值,说明理由.
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7 . 已知椭圆的离心率为;直线与只有一个交点.
(1)求的方程;
(2)的左、右焦点分别为上的点(两点在轴上方)满足.
①试判断(为原点)是否成立,并说明理由;
②求四边形面积的最大值.
(1)求的方程;
(2)的左、右焦点分别为上的点(两点在轴上方)满足.
①试判断(为原点)是否成立,并说明理由;
②求四边形面积的最大值.
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8 . 固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线年,莱布尼茨等得出悬链线的方程为,其中为参数.当时,该表达式就是双曲余弦函数,记为,悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.已知三角函数满足性质:①导数:;②二倍角公式:;③平方关系:.定义双曲正弦函数为.
(1)写出,具有的类似于题中①、②、③的一个性质,并证明该性质;
(2)任意,恒有成立,求实数的取值范围;
(3)正项数列满足,,是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(1)写出,具有的类似于题中①、②、③的一个性质,并证明该性质;
(2)任意,恒有成立,求实数的取值范围;
(3)正项数列满足,,是否存在实数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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9 . 已知函数
(1)若在定义域内单调递增,求的取值范围,
(2)若函数恰有两个零点,求的取值范围,
(1)若在定义域内单调递增,求的取值范围,
(2)若函数恰有两个零点,求的取值范围,
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10 . 已知函数和.
(1)若函数在点处的切线与直线垂直,求的单调区间和极值;
(2)当时,证明:的图象恒在的图象的下方.
(1)若函数在点处的切线与直线垂直,求的单调区间和极值;
(2)当时,证明:的图象恒在的图象的下方.
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