解题方法
1 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一,其内容为:如果函数在闭区间上的图象连续不断,在开区间内的导数为,那么在区间内存在点,使得成立.设,其中为自然对数的底数,.易知,在实数集上有唯一零点,且.(1)证明:当时,;
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
(2)从图形上看,函数的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标.直接求解的零点是困难的,运用牛顿法,我们可以得到零点的近似解:先用二分法,可在中选定一个作为的初始近似值,使得,然后在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的一次近似值;在点处作曲线的切线,切线与轴的交点的横坐标为,称是的二次近似值;重复以上过程,得的近似值序列.
①当时,证明:;
②根据①的结论,运用数学归纳法可以证得:为递减数列,且.请以此为前提条件,证明:.
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名校
2 . 黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想,它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一.它与函数(,s为常数)密切相关,请解决下列问题.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时;
①证明有唯一极值点;
②记的唯一极值点为,讨论的单调性,并证明你的结论.
(1)当时,讨论的单调性;
(2)当时;
①证明有唯一极值点;
②记的唯一极值点为,讨论的单调性,并证明你的结论.
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2024-01-15更新
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2645次组卷
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7卷引用:2024届广东省惠州市大亚湾区普通高中毕业年级联合模拟考试(一)数学试卷
2024届广东省惠州市大亚湾区普通高中毕业年级联合模拟考试(一)数学试卷2024届广东省大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试(一)数学试题湖南省长沙市长郡中学2024届高三一模数学试题(已下线)微考点2-5 新高考新试卷结构19题压轴题新定义导数试题分类汇编天津市第一中学滨海学校2024届高三第六次学业水平质量调查数学试卷(开学考)吉林省通化市梅河口市第五中学2024届高三下学期一模数学试题(已下线)专题2 导数与函数的极值、最值【练】
名校
解题方法
3 . 欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家,他发明的公式为,i虚数单位,将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数,为虚数单位依据上述公式,则下列结论中正确的是( )
A.复数为纯虚数 |
B.复数对应的点位于第二象限 |
C.复数的共轭复数为 |
D.复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 |
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2023-12-15更新
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1524次组卷
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5卷引用:广东省2024届高三数学新改革适应性训练一(九省联考题型)
广东省2024届高三数学新改革适应性训练一(九省联考题型)云南省下关一中教育集团2023-2024学年高二上学期12月段考(二)数学试卷(已下线)专题03 与复数有关的压轴题-【常考压轴题】(已下线)第12章 复数单元综合能力测试卷-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)湖南省株洲市第二中学2024年第四届“同济大学”杯数理化联赛高一数学试题
4 . 棣莫弗公式(为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,已知复数,则的值是( )
A. | B. | C. | D. |
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2023-06-22更新
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611次组卷
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6卷引用:广东省六校联考(广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中)2023届高三第六次联考数学试题
广东省六校联考(广州二中、中山纪中、东莞中学、珠海一中、深圳实验、惠州一中)2023届高三第六次联考数学试题7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义练习(已下线)专题7.6 复数全章八大压轴题型归纳(拔尖篇)--举一反三系列-(已下线)7.3 复数的三角表示-高一数学同步精品课堂(人教A版2019必修第二册)(已下线)7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义【第二课】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路(已下线)7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路
名校
解题方法
5 . 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数.我们听到的声音是由纯音合成的,称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数.给出下列四个结论:
①的最小正周期是;
②在上有3个零点;
③在上是增函数;
④的最大值为.
其中所有正确结论的序号是( )
①的最小正周期是;
②在上有3个零点;
③在上是增函数;
④的最大值为.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③ | B.②④ | C.①②④ | D.③④ |
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6 . 古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数,如1,3,6,10,15,…,我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”,其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示,顶上一层1个球,下一层3个球,再下一层6个球…),若一“落一形”三角锥垛有20层,则该锥垛球的总个数为( )(参考公式:)
A.1450 | B.1490 | C.1540 | D.1580 |
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2023-05-23更新
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591次组卷
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8卷引用:广东省汕头市2023届高三第一次模拟数学试题
广东省汕头市2023届高三第一次模拟数学试题广东省佛山市南海区第一中学2022-2023学年高二下学期第一次大测数学试题(已下线)广东省汕头市2023届高三第一次模拟数学试题变式题1-5(已下线)第三篇 数列、排列与组合 专题2 多边形数、伯努利数、斐波那契数、洛卡斯数、明安图数与卡塔兰数 微点1 多边形数吉林省白山市抚松县第一中学2023届高考模拟预测数学试题福建省福州格致中学2024届高三上学期10月质检数学试题陕西省榆林市第十中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题(已下线)模块四专题3重组综合练(陕西)(8+3+3+5模式)(北师大版高二)
名校
7 . 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的,它是一个无法用图象表示的特殊函数,此函数在高等数学中有着广泛的应用,在上的定义为:当(,且p,q为互质的正整数)时,;当或或为内的无理数时,,则下列说法错误的是( )
A.在上的最大值为 |
B.若,则 |
C.存在大于1的实数,使方程有实数根 |
D., |
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2023-04-17更新
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859次组卷
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4卷引用:广东省茂名市2023届高三二模数学试题
广东省茂名市2023届高三二模数学试题河南省漯河市高级中学2024届高三上学期1月月考数学试题(已下线)专题8 函数新定义问题【讲】(压轴题大全)湖北省部分县市重点中学温德克英名校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中综合性质量监测数学试卷
8 . 甲、乙、丙三人参加数学知识应用能力比赛,他们分别来自A、B、C三个学校,并分别获得第一、二、三名:已知:①甲不是A校选手;②乙不是B校选手;③A校选手不是第一名;④B校的选手获得第二名;⑤乙不是第三名.根据上述情况,可判断出丙是___________ 校选手,他获得的是第___________ 名.
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名校
9 . 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和,则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道,令,则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值,即,若每次都取最简分数,则用“调日法”得到的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为( )
A.五 | B.四 | C.三 | D.二 |
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2022-12-29更新
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393次组卷
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3卷引用:广东省高考研究会高考测评研究院2023届高三上学期阶段性学习效率检测调研卷数学试题
解题方法
10 . 黎曼猜想由数学家波恩哈德∙黎曼于1859年提出,是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想研究的是无穷级数,我们经常从无穷级数的部分和入手.请你回答以下问题
(1)__________ ;(其中表示不超过的最大整数,.)
(2)已知正项数列的前项和为,且满足,则__________ .
(1)
(2)已知正项数列的前项和为,且满足,则
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