1 . 已知函数.
(1)当时，证明：；
(2)当时，，求的最大值；
(3)若在区间存在零点，求的取值范围.

3 . 若函数的图象上的若干个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这若干个点为函数的图象的一组“同切点”例如，如图，直线为函数的图象的“自公切线”，，为函数的图象的一组“同切点”.

(1)已知函数在处的切线为它的一条“自公切线”，求该自公切线方程；
(2)若，求证：函数，有唯一零点，且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设，函数，的零点为，求证：为函数的一组同切点.

4 . 已知函数，.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)若，且，求证：.

6 . 已知．
(1)讨论的单调性；
(2)若且有2个极值点，，求证：．

7 . 已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)求函数在上的最小值；
(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

8 . 已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)若曲线与直线有且仅有一个交点，求的取值范围；
(3)若曲线在处的切线与曲线交于另外一点，求证：．

9 . 已知函数，给出下列四个结论：
①当时，对任意，有1个极值点；
②当时，存在，使得存在极值点；
③当时，对任意，有一个零点；
④当时，存在，使得有3个零点.
其中所有正确结论的序号是______.

10 . 已知函数，．
(1)判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
(2)函数在区间上的所有极值之和为，证明：对于．