1 . 如图，若点A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且，证明：A，B，C三点共线是的充要条件．
   

2 . 已知集合．
(1)求证：的充要条件是；
(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

3 . 记关于x的方程的解集为M，其中．
(1)求M恰有3个元素的充要条件；
(2)在（1）的条件下，试求：以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件．

4 . 设a，b，c为的三边，求方程与有公共根的充要条件．

5 . 请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？

6 . 求证：点在直线上的充要条件是对空间任意一个确定的点，存在实数使得.

7 . 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
(2)设d是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．

8 . 设是实数，证明：对任何满足的实数，不等式恒成立的充要条件是：且．

10 . 数列满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证：数列的指数和的充分必要条件是.