1 . 指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选一种作答）
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：
，q：
；
(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
(1)p：x为自然数，q：x为整数；
(2)p：
，q：；(3)p：同位角相等，q：两直线平行；
(4)p：四边形的两条对角线相等，q：四边形是平行四边形．
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2023-04-14更新
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197次组卷
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2卷引用：山东省滨州高新高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（春考班）
名校
解题方法
2 . 已知数列
，
，…，
的各项均为正整数．设集合，
记
的元素个数为
．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若
是递增数列，求证：“
”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．(1)若数列
1，1，3，2，求集合，并写出的值；(2)若
是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
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3 . 记无穷数列
的前n项中最大值为
，最小值为
，令
．
(1)若
，请写出
的值；
(2)求证：“数列是递增的等差数列”是“数列
是递增的等差数列”的充要条件；
(3)若
，求证：存在
，使得
，有
．
的前n项中最大值为，最小值为，令．(1)若
，请写出的值；(2)求证：“数列
是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件；(3)若
，求证：存在，使得，有．
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2023-03-26更新
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457次组卷
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2卷引用：北京市清华附中2023届高三下学期3月调研数学试题
4 . 已知集合
，对于集合
的非空子集．若中存在三个互不相同的元素
，
，
，使得
，
，
均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
(1)试判断集合
，
是否为集合
的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）
(2)如果一个集合中含有三个元素
，
，
，同时满足①
，②
，③
为偶数．那么称该集合具有性质
．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；
(3)若
的任意含有
个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
，对于集合的非空子集．若中存在三个互不相同的元素，，，使得，，均属于，则称集合是集合的“期待子集”．(1)试判断集合
，是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由）(2)如果一个集合中含有三个元素
，，，同时满足①，②，③为偶数．那么称该集合具有性质．对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质；(3)若
的任意含有个元素的子集都是集合的“期待子集”，求的最小值．
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2023-03-21更新
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948次组卷
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6卷引用：北京市丰台区2023届高三一模数学试题
北京市丰台区2023届高三一模数学试题专题12压轴题汇总（10、15、21题）专题01集合与常用逻辑（已下线）北京市丰台区2023届高三下学期3月一模数学试题变式题16-21北京卷专题02集合（解答题）（已下线）第一章 集合与逻辑（压轴题专练）-速记·巧练（沪教版2020必修第一册）
名校
5 . 已知平面向量
不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量
，都存在唯一的有序实数对
，使得
.
(1)证明：
三点共线的充要条件是
；
(2)如图，
的重心
是三条中线
的交点，证明：重心为中线的三等分点.
不共线，由平面向量基本定理知，对于该平面内的任意向量，都存在唯一的有序实数对，使得.(1)证明：
三点共线的充要条件是；(2)如图，
的重心是三条中线的交点，证明：重心为中线的三等分点.
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2023高三·全国·专题练习
6 . 已知数列满足
，求证：数列为等差数列的充要条件是
．
满足，求证：数列为等差数列的充要条件是．
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名校
解题方法
7 . 集合
{
为严格增函数}.
(1)直接写出
是否属于集合
(2)若
.解不等式：
(3)
证明：“
”的充要条件是“
”
{为严格增函数}.(1)直接写出
是否属于集合(2)若
.解不等式：(3)
证明：“”的充要条件是“”
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名校
解题方法
8 . 已知数列的前
项和
（
，
是不等于0和1的常数），求证：数列为等比数列的充要条件是
.
的前项和（，是不等于0和1的常数），求证：数列为等比数列的充要条件是.
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解题方法
9 . 在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充分必要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的m存在，求m的取值集合M，若问题中的m不存在，说明理由.问题：已知集合
，集合
，是否存在实数m，使得
是
成立的______？
，集合，是否存在实数m，使得是成立的______？
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名校
10 . 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数
，如果对于其定义域
中任意给定的实数，都有
，并且
，就称函数为倒函数.
(1)已知
，判断和
是否为倒函数；
(2)若是
上的倒函数，当
时，
，方程
是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数.记
，证明：
是
的充要条件.
，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.(1)已知
，判断和是否为倒函数；(2)若
是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；(3)若
是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是增函数.记，证明：是的充要条件.
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2023-02-17更新
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280次组卷
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2卷引用：广东省大湾区2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题
