1 . 随着科技的发展，越来越多的智能产品深入人们的生活．为了测试某品牌扫地机器人的性能，开发人员设计如下实验：如图，在表示的区域上，扫地机器人沿着三角形的边，从三角形的一个顶点等可能的移动到另外两个顶点之一，记机器人从一个顶点移动到下一个顶点称执行一次程序．若开始时，机器人从点出发，记机器人执行次程序后，仍回到点的概率为，则__________．

   

2 . 已知数列中，，且.
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设为数列的前项和，求使成立的正整数的最大值.

3 . 已知数列的首项为，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)设，记数列的前项和，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.

4 . 已知数列的前项和为，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和．
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上而的横线上并解答问题，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

5 . 已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.

6 . 设数列的前项和为，且，数列满足，其中．
(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求使不等式对任意正整数都成立的最小实数的值．

7 . 已知数列满足，则下列结论正确的是（       ）

A．	B．是递增数列
C．是等比数列	D．是递增数列

8 . 已知数列的前项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．

9 . 已知数列满足.
(1)设，证明：是等比数列；
(2)求数列的前项和.

10 . 已知函数在点处的切线经过点.
(1)求的方程.
(2)证明：数列是等比数列.
(3)求数列的前项和.