【推荐2】欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数.
(1)已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；
(2)若是上的倒函数，当时，，方程是否有正整数解？并说明理由；
(3)若是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数.记，证明：是的充要条件.

【推荐3】已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.

【推荐1】设函数．（其中为自然对数的底数）
(1)若在区间内单调递增，求a的取值范围；
(2)证明：，当时，．

【推荐2】已知函数，.
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）若对任意的，均有，求的取值范围.(注：为自然对数的数)

【推荐3】（本小题满分13 分）已知函数.
（Ⅰ）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若，且关于x的方程在上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正数的数列满足，
求证：.

【推荐1】已知函数，．
（1）设函数，求函数的单调区间；
（2）证明：，总存在，使得．

【推荐2】已知函数（是自然对数的底数）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个零点分别为.
①求实数的取值范围；
②求证：.

【推荐3】设函数，其中.
(1)若，讨论的单调性；
(2)若，试证明恰有两个零点.

【推荐1】已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；
（2）已知当时恒成立，求的最大值．

【推荐2】已知函数有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围.
（2）求的极大值与极小值之和的取值范围.
（3）若，则是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，说明理由.

【推荐3】已知函数．
(1)当时，求函数的零点个数；
(2)求在上的最大值．