3 . 【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系；

嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题．
方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题．
（1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系；
【迁移应用】
（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明．
【拓展延伸】
（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．

4 . 如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，将沿直线平移，并连结，．
(1)【基础巩固】
求证：在沿直线平移过程中，四边形是平行四边形；
(2)【操作思考】
如图2，已知，，当沿平移到某一个位置时，四边形为菱形，求此时的长；
(3)【拓展探究】
如图3，连结，若四边形为菱形，且，求的度数．

5 . 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，．

特例分析：（1）如图2，当旋转到时，旋转角的度数为______；
探究规律：（2）如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）当是等腰三角形时，求旋转角的度数．

6 . （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；

（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．

7 . 在中，，点D为边上一动点，，，连接，．
（1）问题发现： 如图1，．若，则              ，            ；
（2）类比探究：
如图②，当时，请写出的度数及与的数量关系并说明理由；
（3）拓展应用： 如图3，点 E为正方形 的边上的三等分点，以为边在上方作正方形， 点O为正方形的中心， 若，请直接写出线段 EF的长．

8 . 【问题提出】
如图，在中，，点P是边上的动点（不与点A、B重合），把沿过点P的直线l折叠，点B的对应点是点D，折痕为．

（1）若点D恰好在边上．
①如图1，当时，连接，求证：．
②如图2，当，且，，直接写出与的周长差．
【探究迁移】
（2）如图3，点P在边上运动时，若直线l始终垂直于，且，．直接写出的面积．

【拓展应用】
（3）若点Q与点C重合，，，，则________．

9 . 综合与探究
【操作探索】
在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作：
如图1，已知四边形，，．
（1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由；
（2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明．
【应用拓展】
（3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．

   

10 . 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．