1 . 设函数，，.
(1)求的最大值；
(2)当，时，求证：.

2 . 已知函数．
(1)当时，求在上最大值及最小值；
(2)当时，求证．

3 . 已知（）.

(1)求导函数的最值；
(2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.

4 . 已知，其中.

(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
(2)设，函数在时取到最小值，求关于的表达式，并求的最大值；
(3)当时，设，数列满足，且，证明：.

5 . 在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为______.

6 . 已知实数，设.

(1)若，求函数，的图象在点处的切线方程；
(2)若，求函数，的值域；
(3)若对于任意的，总存在，使得，求的取值范围.

7 . 已知（为实常数）
(1)当时，求函数的最小值；
(2)若对一切都成立，求的取值范围；
(3)设各项为正的无穷数列满足，证明：.（提示：当时，）

8 . 今年是中国“一带一路”但议提出十周年，期间中国与共建国家共同打造政治互信、经济融合的利益共同体，中国对外投资大幅增加.某中国企业抓住机遇，准备到某地建立原材料加工厂.此地有三处原材料采集点，分别位于矩形的顶点A、B，及的中点处，已知，.现要在矩形的区域内（不含边界），与A、B等距离的一点O处建厂，并修路、、，以便从采集点向工厂运输原材料.设修路的总长为.
   
(1)按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式.
(2)请你选用（1）中的一个函数关系式，确定建厂的位置，使三条路总长度最短.

9 . 已知四面体中，，则该四面体体积的最大值为_________.

10 . 已知中，，且，则面积的最大值为______________.