2024·全国·模拟预测
1 . 已知函数
的图象在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)若
有两个不同的实数根，求实数
的取值范围．
的图象在点处的切线方程为．(1)求
的值；(2)若
有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
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2 . 已知函数
．
(1)当
时，过点
的直线
与
图象相切，求直线的方程；
(2)若有两个零点，求
的取值范围．
．(1)当
时，过点的直线与图象相切，求直线的方程；(2)若
有两个零点，求的取值范围．
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3 . 已知函数
．
(1)证明：当
时，
；
(2)求在区间
上的零点个数．
．(1)证明：当
时，；(2)求
在区间上的零点个数．
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4 . 若函数
的导函数
在点
可导，则称在点的导数值为在点的二阶导数，记作
．若在开区间I内的每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作．曲线
上任意两点间的弧段总在这两点的下方；而曲线
则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数．连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．拐点在统计学，物理学，经济学领域都有重要的应用．若函数在定义域内是一条连续不断的曲线，对任意的
，的导函数都存在，且的导函数也都存在，若
，使得
，且在的左右附近，异号，则称点
为曲线
的拐点．已知函数
，
，
．
(1)求在定义域内的拐点个数；
(2)若
在
上有唯一拐点
，求实数k的取值范围；
(3)函数
在区间
恰有一个拐点，求实数a的取值范围．
的导函数在点可导，则称在点的导数值为在点的二阶导数，记作．若在开区间I内的每一点都二阶可导，则得到一个定义在I上的二阶导函数，记作．曲线上任意两点间的弧段总在这两点的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数．连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．拐点在统计学，物理学，经济学领域都有重要的应用．若函数在定义域内是一条连续不断的曲线，对任意的，的导函数都存在，且的导函数也都存在，若，使得，且在的左右附近，异号，则称点为曲线的拐点．已知函数，，．(1)求
在定义域内的拐点个数；(2)若
在上有唯一拐点，求实数k的取值范围；(3)函数
在区间恰有一个拐点，求实数a的取值范围．
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5 . 已知函数
.
(1)若过点
可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点
.
①求的取值范围；
②当
时，证明：
.
.(1)若过点
可作曲线两条切线，求的取值范围；(2)若
有两个不同极值点.①求
的取值范围；②当
时，证明：.
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6 . 已知函数
.
(1)当
时，求的零点个数；
(2)已知函数
，若
在
上恒成立，求实数的取值范围.
.(1)当
时，求的零点个数；(2)已知函数
，若在上恒成立，求实数的取值范围.
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7 . 已知函数
.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设
，若存在
，使得
.
①求的取值范围；
②设为整数，若当
时，相应的
总满足
，求的最小值.
.(1)讨论函数
的单调性；(2)设
，若存在，使得.①求
的取值范围；②设
为整数，若当时，相应的总满足，求的最小值.
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8 . 已知函数
.
(1)若
，求在
处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，试比较
与
的大小关系.
.(1)若
，求在处的切线方程；(2)若函数
有2个零点，试比较与的大小关系.
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9 . 已知函数
在
处的切线经过原点.
(1)判断函数的单调性；
(2)求证：函数的图象与直线
有且只有一个交点.
在处的切线经过原点.(1)判断函数
的单调性；(2)求证：函数
的图象与直线有且只有一个交点.
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10 . 已知函数
，其中
.
(1)当
时，
，求的取值范围.
(2)若
，证明：有三个零点
，
，
（），且，，成等比数列.
(3)证明：
（
）.
，其中.(1)当
时，，求的取值范围.(2)若
，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.(3)证明：
（）.
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