名校
解题方法
1 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
若
，则称
为空间向量
与
的叉乘，其中
，
， 
为单位正交基底. 以 
为坐标原点、分别以
，
，
的方向为 
轴、 
轴、 
轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
，
是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若
，
，求
；
②证明
.
(2)记
的面积为 
，证明：
.
(3)证明：
的几何意义表示以为底面、
为高的三棱锥体积的
倍.
若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点(1)①若
，，求；②证明
.(2)记
的面积为 ，证明：.(3)证明：
的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
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2024-04-06更新
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620次组卷
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7卷引用：河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷
河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷江苏省扬州市仪征中学2024届高三下学期期初调研测试数学试题 河南省部分重点高中（青桐鸣）2023-2024学年高三上学期期末大联考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）江苏省江都中学2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷江苏省盱眙中学2023-2024学年高二下学期第一次学情调研数学试题（已下线）第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题二 平面法向量求法及其应用 微点2 平面法向量求法及其应用（二）【培优版】
2 . 如图，在四棱柱
中，底面
为正方形，
平面
．
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，求四棱锥
的高．
中，底面为正方形，平面．(1)证明：平面
平面；(2)设
，求四棱锥的高．
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解题方法
3 . 如图，在四棱锥
中，底面为平行四边形，
是
的中点，在
上取一点
，过点和
作平面，交平面
于
，点
在线段
上.求证：
.
中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
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名校
解题方法
4 . 如图，在平行六面体
中，设
，
，
，
分别是
，
，
的中点.
(1)试用
，
，
表示以下列向量：
.
(2)
，
，求证：
平面
中，设，，，分别是，，的中点.(1)试用
，，表示以下列向量：.(2)
，，求证：平面
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2022-12-05更新
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165次组卷
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2卷引用：广东省珠海市实验中学2022-2023学年高二上学期第一次段考数学试题
12-13高一·福建泉州·假期作业
名校
解题方法
5 . 如图，在四棱锥中，
底面ABCD，
，
，
，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)
；
(2)
平面ABE．
中，底面ABCD，，，，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)
；(2)
平面ABE．
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2022-09-18更新
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1365次组卷
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35卷引用：2012-2013学年福建省南安一中高一寒假作业1数学试卷
（已下线）2012-2013学年福建省南安一中高一寒假作业1数学试卷（已下线）2013届辽宁省五校协作体高三摸底考试文科数学试卷2015-2016学年安徽省阜阳市太和县二职高一上学期期末数学试卷2016-2017学年陕西西安中学高一上学期质检三数学试卷天津市红桥区2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题人教A版高中数学必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定2人教A版高中数学必修二 2.3.3 直线与平面垂直的性质2山西省朔州市应县第一中学校2019-2020学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（已下线）2019年11月17日 《每日一题》必修2-每周一测人教A版(2019) 必修第二册 过关斩将（高手篇） 第八章 8.6 空间直线、平面的垂直人教B版(2019) 必修第四册 过关斩将(高手篇) 第十一章 立体几何初步 11.4 空间中的垂直关系人教A版(2019) 必修第二册 突围者 第八章 第六节 课时2 直线与平面垂直江苏省苏州市外国语学校2018-2019学年高二下学期期中数学(文)试题（已下线）【新教材精创】11.4.1直线与平面垂直(第2课时）练习(1)安徽省滁州市定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学(文)试题江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第四次大考数学（文）试题云南省大理州祥云县2019-2020学年高二下学期期末统测数学（文）试题云南省弥勒市第一中学2020-2021学年高二下学期第三次月考数学（文）试题吉林省长春市第二十九中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题江苏省常州市武进区礼嘉中学2020-2021学年高一下学期第二次阶段质量调研数学试题（已下线）课时1.1.2 空间向量及其运算（02）空间向量的数量积运算-2021-2022学年高二数学同步练习和分类专题教案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）考点48 直线与平面、平面与平面垂直-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）第37讲 立体几何中的向量方法 （讲） — 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）人教A版(2019) 必修第二册 实战演练 第八章 课时练习30 直线与平面垂直天津市静海区独流中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题空间向量及其运算（已下线）第48讲 直线与平面、平面与平面垂直河南省新乡市第十一中学2020-2021学年高二下学期第二次月考文科数学试题人教A版(2019) 选择性必修第一册 过关斩将 第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算（已下线）8.6.2直线与平面垂直的性质定理（第2课时）（精讲）（1）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）重点题型训练13：第6章平行关系、垂直关系-2020-2021学年北师大版（2019）高中数学必修第二册（已下线）专题训练：线线、线面、面面垂直证明陕西省延安中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题第3章 空间向量与立体几何测试题 -2021-2022学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册（已下线）艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第34讲 空间中的垂直关系【讲】
解题方法
6 . 已知空间几何体ABCDE中，
，
是全等的正三角形，平面
平面BCD，平面
平面BCD.
(1)若
，求证：
；
(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.
，是全等的正三角形，平面平面BCD，平面平面BCD.(1)若
，求证：；(2)探索A，B，D，E四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.
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解题方法
7 . 如图，在四棱锥，
⊥平面，
，
，且
，
，
为的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
，⊥平面，，，且，，为的中点.（1）求证：
平面；（2）求三棱锥
的体积.
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2010·吉林·一模
名校
解题方法
8 . 如图，已知等腰直角三角形
，其中
，
.点､
分别是
､
的中点，现将
沿着边
折起到
位置，使
，连接
､.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的平面角的余弦值.
，其中，.点､分别是､的中点，现将沿着边折起到位置，使，连接､.（1）求证：
；（2）求二面角
的平面角的余弦值.
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2021-09-08更新
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205次组卷
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5卷引用：吉林省实验中学2011届高三第一次模拟考试理科数学试卷
（已下线）吉林省实验中学2011届高三第一次模拟考试理科数学试卷（已下线）2011届吉林省实验中学高三第一次模拟考试理科数学卷广东省深圳第一外国语学校2019-2020学年高二下学期期中数学试题广东省佛山市南海区桂城中学2021-2022学年高二下学期第二次段考数学试题广东省信宜市2024届高三上学期摸底数学试题
名校
解题方法
9 . 如图，在三棱锥
中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且
．
（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．
中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且．
（2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点．
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2021-08-31更新
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1121次组卷
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7卷引用：山西省高平一中、阳城一中、高平一中实验学校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题
山西省高平一中、阳城一中、高平一中实验学校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题陕西省西安市建筑科技大学附中2021-2022学年高一上学期第二次月考数学试题（已下线）第8.4讲 空间点、直线、平面的位置关系-2021-2022学年高一数学链接教材精准变式练（人教A版2019必修第二册）陕西省渭南市韩城市新蕾中学2021-2022学年高一上学期第三次月考数学试题（已下线）第一章 点线面位置关系 专题五 共面问题 微点2 立体几何共面问题的解法综合训练【基础版】8.4.1平面练习（已下线）8.4.1 平 面【第一练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
平面
，
，
，且
均为正三角形，
平面
；
的体积.
