1 . 设（为正整数），对任意的，，定义
(1)当时，，，求；
(2)当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值；
(3)集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值．

2 . 对于在区间上有意义的函数，若满足对任意的，，有恒成立，则称在上是“友好”的，否则就称在上是“不友好”的.现有函数.
(1)当时，判断函数在上是否“友好”；
(2)若函数在区间上是“友好”的，求实数的取值范围.

3 . 已知函数（）.
(1)若在上的最小值为，求a的值；
(2)证明：存在唯一零点且满足.

5 . 已知函数在区间上单调递增，再从下面四个条件中选择两个作为已知，使得函数的解析式存在且唯一.
①是的一个零点；
②的最大值是；
③是函数图象的一个最小值点；
④的图象关于直线对称．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求的最大值.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.

6 . 对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”；对于函数，若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格函数”.
(1)若函数，是“函数”，求k的取值范围；
(2)对于定义域为的函数对任意的正实数，均是“严格函数”，若，求实数a的最小值.

7 . 已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)，将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.

8 . 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”．
(1)试判断是否为的“2重覆盖函数”？请说明理由；
(2)若，为，的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围；
(3)函数表示不超过的最大整数，如．若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围．

9 . 已知函数．若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类增周期函数；若存在非零常数和非零常数，对于集合内的任意实数，恒有成立，则称是上的周期为的级类周期函数．
(1)设，已知是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；
(2)已知是上的周期为1的级类周期函数，且当时，．若函数在上严格增，求实数的取值范围；
(3)已知，设．试问：是否存在，使是上的周期为的级类周期函数？若存在，求出和相应的的值；若不存在，说明理由．