1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

2 . 设函数定义在区间上，若对任意的、、、，当，且时，不等式成立，就称函数具有M性质.
(1)判断函数，是否具有M性质，并说明理由；
(2)已知函数在区间上恒正，且函数，具有M性质，求证：对任意的、，且，有；
(3)①已知函数，具有M性质，证明：对任意的、、，有，其中等号当且仅当时成立；
②已知函数，具有M性质，若、、为三角形的内角，求的最大值.
(可参考：对于任意给定实数、，有，且等号当且仅当时成立.)

3 . 三角比内容丰富，公式很多.若仔细观察，大胆猜想，科学求证，你能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：
（1）计算：及；
（2）根据（1）的计算结果，请你猜想出一个一般性结论，并证明你的结论.

4 . 已知定义域为的函数是奇函数．
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)解关于的不等式．

5 . 证明：．

7 . 已知函数.
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)求证：当时，恒有.

8 . 求证下列恒等式：
(1)；
(2)

9 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)当时，求函数的最大值.

10 . 已知中，内角都是锐角.
(1)若，证明：；
(2)若，且，求内切圆半径的最大值.