1 . 设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点．
(1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程；
(2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程；
(3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由．

2 . 已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点.
(1)求的标准方程；
(2)若直线过点，且斜率，求面积的最小值；
(3)若直线，与相切，求证：直线也与相切.

3 . 已知抛物线的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足.
①求点的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.

4 . 若函数有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．
(1)函数与是否具有性质？并说明理由．
(2)已知函数与具有性质．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．

5 . 极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数，设自变量x从变化到，当，是一个确定的值，则称函数在点处右可导；当，是一个确定的值，则称函数在点处左可导.当函数在点处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数在点处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数.
（ⅰ）求函数在处的切线方程；
（ⅱ）若为的极小值点，求a的取值范围.

6 . 已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.

7 . 若曲线C的切线l与曲线C共有n个公共点（其中，），则称l为曲线C的“”.
(1)若曲线在点处的切线为，另一个公共点的坐标为，求的值；
(2)求曲线所有的方程；
(3)设，是否存在，使得曲线在点处的切线为？若存在，探究满足条件的t的个数，若不存在，说明理由．

8 . （1）已知函数，证明：，，．
（2）已知函数，定义：若存在，，使得曲线在点与点处有相同的切线，则称切线为“自公切线”．
①证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
②讨论曲线的“自公切线”的条数．

9 . 函数是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且y轴和直线是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线.

(1)函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴l的方程；
(2)若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴.
（i）请采用适当的变换方法，求函数变换后所对应的双曲线标准方程；
（ii）已知函数图象上任一点到平面内定点的距离差的绝对值为定值，以线段为直径的圆与的图象一个交点为，求的面积.

10 . 帕德近似是利用分式有理函数逼近任意函数的一种方法，定义分式函数为的阶帕德逼近，其分子是m次多项式，分母是n次多项式，且满足，，，…，时，为在处的帕德逼近．
(1)求函数在处的阶帕德逼近；
(2)已知函数．
①讨论的单调性；
②若有3个不同零点，，，证明：．