1 . 已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)求在上的值域；
(2)函数，证明：有且仅有两个零点．

2 . 已知抛物线上的点到焦点的距离为4．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于，两点，且以线段为直径的圆过原点，求证直线恒过定点，并求出此定点的坐标．

3 . 已知函数.
(1)若，求的极值；
(2)若是的两个零点，且，证明：.

4 . 已知函数，，其中，曲线在点处的切线与曲线相切于点．
(1)若，求；
(2)证明：．

5 . 已知函数（且）.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设.求证：当时，恒成立.

6 . 已知椭圆C：的左顶点为A，P为C上一点，O为原点，，，的面积为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设B为C的右顶点，过点且斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，证明：．

7 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：.

8 . 已知椭圆：，A为椭圆与y轴交点，，为椭圆左、右焦点，为等腰直角三角形，且椭圆上的点到焦点的最短距离为
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆C交于，N两点，点，记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，当时，求证直线恒过一定点？

9 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个不同零点，求的取值范围，并证明.

10 . 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．