1 . 已知椭圆C：的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且点M恰为线段AB的中点，求直线l的方程．

2 . 已知曲线上任意一点到点的距离与它到直线的距离相等，若过的两条直线，的斜率之积为，且，分别交曲线于，两点和，两点，
（1）求曲线的方程；
（2）求的最小值.

3 . 已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，为椭圆上任意一点
（1）若，求的面积；
（2）是否存在着直线，使得当经过椭圆左顶点且与椭圆相交于点，点与点关于轴对称，满足，若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

4 . 已知函数的极大值为,其中为自然对数的底数.
（1）求实数的值；
（2）若函数,对任意,恒成立.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.

5 . 已知函数，．
（1）试判断函数的单调性；
（2）是否存在实数，使函数的极值大于？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．

6 . 已知函数，为的导数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）证明：在区间上存在唯一零点；
（Ⅲ）设，若对任意，均存在，使得，求实数的取值范围.

7 . 已知椭圆：的焦距为，其上下顶点分别为、，点，，．
(1)求椭圆的方程；
(2)点P的坐标为，过点A任意作直线与椭圆相交于M、N两点，设直线、、的斜率依次成等差数列，探究m、n之间是否满足某种数量关系，若是，请给出m、n的关系式，并证明；若不是，请说明理由．

8 . 已知椭圆的右焦点为，且经过点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.

9 . 设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.

10 . 已知椭圆的左、右焦点为的坐标满足圆方程，且圆心满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，过与垂直的直线交圆于、两点，为线段中点，若的面积 ，求的值.