1 . 如图所示，由圆O的一段弧MPN（其中点P为圆弧的中点）和线段MN构成的图形内有一个矩形ABCD和 （其中AB在线段MN上，C、D两点在圆弧上），已知圆的半径为，点到的距离为，设直线与的夹角为.

(1)用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围；
(2)当为何值时，有最大值，最大值是多少？

2 . 如图所示，已知双曲线与抛物线有相同的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.

(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若双曲线的焦距为其实轴长的2倍，求点M到双曲线两个焦点的距离之和.

3 . 已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)设，，的面积分别是，，，求的范围．

4 . 已知函数.
(1)下面是某同学讨论函数单调性并求解单调区间的过程：因为，所以.令，得或，所以当时，单调递减.请判断是否正确，若正确，补全解答过程，若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

5 . 设函数．
(1)求的单调区间；
(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ）若，则；
（ⅱ）若，则．
（注：是自然对数的底数）

6 . 已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率.

7 . 如图，点在抛物线上，抛物线的焦点为，且，直线交抛物线于B，C两点（C点在第一象限），过点C作y轴的垂线分别交直线，于点P，Q，记，的面积分别为，.

(1)求的值及抛物线的方程；
(2)当时，求的取值范围.

8 . 平面内两定点F₁（，0），F₂（，0），点O为坐标原点，动点P满足F₂P的中点E在⊙O：上，点Q在F₁P上且.
(1)求动点Q的轨迹C的方程；
(2)过点D（3，0）分别作两条直线与轨迹C交于点A，点B.线段DA的中点为M，线段DB的中点为N，若OM⊥ON，求证：直线AB过定点.

9 . 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知直线与椭圆：相交于，两点，与轴交于点，若存在使得，求的取值范围.

10 . 已知函数，其中．求证：
(1)，且；
(2)，，.