1 . 已知函数．
(1)证明：函数在上存在唯一的零点；
(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．

2 . 已知，，为平面上一动点，且满足，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)若，过点的动直线：交曲线于，（不同于，）两点，直线与直线斜率分别记为，.
①求的范围.
②证明：为定值，并计算定值的范围．

3 . 已知函数（）．
(1)若在上是增函数，求的取值范围；
(2)若，求证：．

4 . 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C相切于点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线与椭圆C交于不同的两点M，N，与直线交于点Q（P，Q，M，N均不重合），记的斜率分别为，若．证明：为定值．

5 . 已知函数，其中，e是自然对数的底数．
(1)当时，证明：对，；
(2)若函数在上存在极值，求实数a的取值范围．

6 . 已知在平面直角坐标系中，圆A：的圆心为A，过点B(，0)任作直线l交圆A于点C、D，过点B作与AD平行的直线交AC于点E.
(1)求动点E的轨迹方程；
(2)设动点E的轨迹与y轴正半轴交于点P，过点P且斜率为k₁，k₂的两直线交动点E的轨迹于M、N两点(异于点P)，若，证明：直线MN过定点.

7 . 设椭圆：（）的左、右交点分别为，，下顶点为.已知椭圆的短轴长为，且椭圆过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于异于点的两点，，且直线与的斜率之和等于2，证明：直线经过定点.

8 . 设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．

9 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若，证明：

10 . 已知函数，.
(1)当时，设，求证：；
(2)若恰有两个零点，求的最小整数值.