1 . 今年是中国“一带一路”但议提出十周年，期间中国与共建国家共同打造政治互信、经济融合的利益共同体，中国对外投资大幅增加.某中国企业抓住机遇，准备到某地建立原材料加工厂.此地有三处原材料采集点，分别位于矩形的顶点A、B，及的中点处，已知，.现要在矩形的区域内（不含边界），与A、B等距离的一点O处建厂，并修路、、，以便从采集点向工厂运输原材料.设修路的总长为.
   
(1)按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式；
②设，将表示成的函数关系式.
(2)请你选用（1）中的一个函数关系式，确定建厂的位置，使三条路总长度最短.

2 . .已知函数，其中常数.
(1)当时，求的零点；
(2)讨论的单调性；
(3)设实数，如果对任意，，不等式都成立，求实数a的取值范围.

4 . 设a是实常数，并记．
(1)当时，求函数的单调减区间；
(2)是否存在a，使得函数在实数范围内有且仅有三个零点，且三个零点可按某种顺序排列后成等差数列？若存在，求所有满足条件的a的值；若不存在，说明理由．

5 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
(3)证明：时，在上不存在极值

6 . 若定义域为的函数满足是上的严格增函数，则称是一个“函数”.
(1)分别判断，是否为函数，并说明理由：
(2)设，若函数是函数，判断和的大小关系，并证明：
(3)已知函数是函数，过可以作函数的两条切线，证明：.

7 . （1）已知实数，满足，求证：.
（2）若实数，为正数，且满足，用反证法证明：和中至少有一个成立.

8 . 已知函数．
(1)当时，求函数的图像在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
(3)证明：当时，．

9 . 求实数的值或取值范围，使得复数分别是：
(1)纯虚数；
(2)0

10 . 设函数的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称切线是的一条“切线”.
(1)判断是否是函数的一条“切线”?并说明理由.
(2)设，若对任意正实数，函数都存在“切线”，求实数的取值范围；
(3)已知实数，函数，求证：函数存在无穷多条“切线”，且至少一条“切线”的切点的横坐标不超过.