1 . 已知函数
(1)是的极值点，有两个零点，求的取值范围；
(2)令，讨论的单调性；
(3)当时，设和为两个不相等的正数，且，证明：．

2 . 已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数与函数有相同的最小值，求a的值；
(3)证明：对于任意正整数n，（为自然对数的底数

3 . 已知函数．
(1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．

4 . 设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”.
(1)已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
(2)设，.设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为.若，且，求的最小值.

5 . 设函数.
(1)讨论函数的单调区间；
(2)若对任意，函数均有2个零点，求的取值范围；
(3)设且，证明：.

6 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

7 . 已知函数.
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)当时，若，其中，证明：.

8 . 已知函数，若不等式对恒成立，则实数a的取值范围为__________.

9 . 已知函数．
(1)讨论函数的单调性：
(2)若是方程的两不等实根，求证：
（i）；
（ii）．

10 . 已知函数．
(1)若，，求实数a的取值范围；
(2)设是函数的两个极值点，证明：．