1 . 已知椭圆的焦点在坐标轴上，且经过两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，点与点关于轴对称，证明：直线过定点.

2 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过点且与轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且的面积为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与轴正半轴交于点，与曲线交于点，轴，过点的另一直线与曲线交于，两点，若，求所在的直线方程.

3 . 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．

4 . 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转 一周形成的曲面）的一部分，过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点F₁发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知 ，，.
   
(1)如图建立平面直角坐标系，求截口所在的椭圆的方程；
(2)写出与（1）中所求形状相同，焦点在y轴上的椭圆G的方程（直接写出，不需要写过程）；
(3)设过点的直线l与椭圆G交于不同的两点M，N，且M，N与坐标原点O构成三角形，求面积的最大值.

5 . 已知椭圆的离心率为，椭圆C截直线所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程
(2)动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，D为线段AB的中点，点N是M关于O的对称点，以N点为圆心的圆过原点O，直线DF与⊙N相切于点F，求的最大值

6 . “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.
现取半径为的圆形纸片，定点到圆心的距离为，按上述方法折纸.以向量的方向为轴正方向，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)已知点是圆上任意一点，过点做椭圆的两条切线，切点分别是，求面积的最大值，并确定此时点的坐标.
注：椭圆：上任意一点处的切线方程是：.

7 . 已知椭圆右顶点为A，上顶点为B，过A，B两点的直线平分圆的周长，且与坐标轴时成的三角形的面积为．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线与E相交于C，D两点，且点，当的面积最大时，求直线l的方程．

8 . 已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，是的上顶点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)是椭圆的右顶点，斜率为的直线与交于两点（与不重合）.设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值.

9 . 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作直线交椭圆于、两点，点，若的面积为，求直线的方程．

10 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.