1 . 设过抛物线对称轴上的定点,作直线与抛物线交于两点,且,相应于点的直线称为抛物线的“类准线”.
(1)若,求的值;
(2)若点是“类准线”上任意一点,设直线(其斜率都存在)的倾斜角依次为,求证:.
(1)若,求的值;
(2)若点是“类准线”上任意一点,设直线(其斜率都存在)的倾斜角依次为,求证:.
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解题方法
2 . 已知抛物线的焦点为F,准线与x轴的交点为M,过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点(点A在第一象限),过A,B点作准线的垂线,垂足分别为.设直线l的倾斜角为,当时,.则下列说法正确的是( )
A.有可能为直角 |
B. |
C.Q为抛物线C上一个动点,为定点,的最小值为 |
D.过F点作倾斜角的角平分线FP交抛物线C于P点(点P在第一象限),则存在,使 |
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3 . 如图所示,过原点O作两条互相垂直的线OA,OB分别交抛物线于A,B两点,连接AB,交y轴于点P.
(1)求点P的坐标;
(2)证明:存在相异于点P的定点T,使得恒成立,请求出点T的坐标,并求出面积的最小值.
(1)求点P的坐标;
(2)证明:存在相异于点P的定点T,使得恒成立,请求出点T的坐标,并求出面积的最小值.
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2023-02-22更新
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775次组卷
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2卷引用:北京市清华大学THUSSAT2023届高三上学期12月诊断性测试数学(理)试题
4 . 在①;②;③面积的最小值为8,这三个条件中任选一个,补充在横线上,并解答下列问题.(若选择多个条件作答,则按第一个解答计分)
已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,_____________.
(1)求抛物线的方程;
(2)点C在抛物线上,的重心G在y轴上,直线交y轴于点Q(点Q在点F上方).记的面积分别为,求T的取值范围.
已知抛物线的焦点为F,过点F的直线与该抛物线交于A,B两点,O为坐标原点,_____________.
(1)求抛物线的方程;
(2)点C在抛物线上,的重心G在y轴上,直线交y轴于点Q(点Q在点F上方).记的面积分别为,求T的取值范围.
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5 . 抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.对于抛物线C:给出如下三个条件:①焦点为;②准线为;③与直线相交所得弦长为2.
(1)从以上三个条件中选择一个,求抛物线C的方程;
(2)已知是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”,点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点,若点Q恰在此抛物线的准线上,试判断直线AB是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由.
(1)从以上三个条件中选择一个,求抛物线C的方程;
(2)已知是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”,点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点,若点Q恰在此抛物线的准线上,试判断直线AB是否过定点?如果是,求出定点坐标;如果不是,请说明理由.
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6 . 我们知道,平行于抛物线对称轴的光线(不与对称轴重合)经抛物线两次反射后,入射光线与最后的反射光线平行.如图,若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为,则此抛物线的标准方程为__________ .
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7 . 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点(点A在第一象限),为线段的中点.若,则下列说法正确的是( )
A.抛物线的准线方程为 |
B.过两点作抛物线的切线,两切线交于点,则点在以为直径的圆上 |
C.若为坐标原点,则 |
D.若过点且与直线垂直的直线交抛物线于两点,则 |
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8 . 圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A,B的两条切线的交点P所围成的三角形PAB叫做阿基米德三角形,若曲线C的方程为,弦AB过C的焦点F,设,,,则有,,对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论:①点P在直线上;②;③;④,其中所有正确结论的序号为__________ .
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2023-02-08更新
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417次组卷
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5卷引用:江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试(2月联考)数学(文)试题
名校
解题方法
9 . 已知抛物线C:的焦点在圆E:上.
(1)设点P是双曲线左支上一动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,证明:直线AB与圆E相切;
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点,直线l是圆E在点T处的切线,若直线l与抛物线C交于M,N两点,求的最大值.
(1)设点P是双曲线左支上一动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,证明:直线AB与圆E相切;
(2)设点T是圆E上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点,直线l是圆E在点T处的切线,若直线l与抛物线C交于M,N两点,求的最大值.
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2023-02-07更新
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743次组卷
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2卷引用:2023年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷
解题方法
10 . (1)已知直线与抛物线交于,两点,直线l与x轴相交于点,求证:;
(2)试将第(1)题中的命题加以推广,使得第(1)题中的命题是推广后得到的特例,并证明推广后得到的命题正确.
(2)试将第(1)题中的命题加以推广,使得第(1)题中的命题是推广后得到的特例,并证明推广后得到的命题正确.
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