1 . 某考试分为笔试和面试两个部分，每个部分的成绩分为A，B，C三个等级，其中A等级得3分、B等级得2分、C等级得1分.甲在笔试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，在面试中获得A等级、B等级、C等级的概率分别为，，，甲笔试的结果和面试的结果相互独立.
(1)求甲在笔试和面试中恰有一次获得A等级的概率；
(2)求甲笔试和面试的得分之和X的分布列与期望.

2 . 设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，两点间的距离．
(1)求中的点对的个数；
(2)从集合中任取两个不同的点A，，用随机变量表示他们之间的距离，
①求的分布列与期望；
②证明：当足够大时，．（注：当足够大时，）

3 . 泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即.现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于的概率约为__________.

4 . 下列命题为真命题的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若的展开式中的常数项为60，则

D．若随机变量的方差，则

5 . 已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（       ）

A．的准线方程为

B．，，成等差数列

C．若在的准线上，则

D．若在的准线上，则的最小值为

6 . 为了提升学生的文学素养，某校将2024年5月定为读书月，要求每个学生都只选择《平凡的世界》与《麦田里的守望者》中的一本.已知该校高一年级学生选择《平凡的世界》的人数为450，选择《麦田里的守望者》的人数为550.现采用按比例分层随机抽样的方法，从高一学生中抽取20名学生进行阅读分享，则被抽到的这20名学生中选择了《平凡的世界》的人数为（       ）

A．9

B．10

C．11

D．12

7 . 某同学将一张圆心角为的扇形纸壳裁成扇环（如图1）后，制成了简易笔筒（如图2）的侧面，已知 ，则制成的简易笔筒的高为__________．

8 . 如图，圆与轴相切于圆心在直线上运动．过点向圆作非轴的切线，切点分别为两条切线交于点，设点的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)设为线段上一点（不含端点），过的直线交曲线于两点，且为的中点，求面积的最大值．

9 . 我们称各项均不相等的正项数列为“冒泡数列”，对任意冒泡数列，我们按如下步骤进行操作，称为“冒泡操作”
比较的大小，若，则交换的位置；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，若，再交换；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，，直到比较得到时或者调整位置至首位时停止比较和交换位置，并进行下一步；
设前述所有步骤后数列变为，比较的大小，若，则交换的位置，再继续比较的大小，…，直到比较得到或者调整位置至首位时结束操作．
(1)请对数列5，3，2，9，7作冒泡操作，可表示为请写出操作结束后得到的数列，并计算交换位置的次数．
(2)对于某个项冒泡数列当其完成冒泡操作时的总的交换位置的次数称为其“交换复杂度”，记为
（i）求的最小值和最大值；
（ii）对于某个项冒泡数列及其各项全排列产生的所有不同数列，其交换复杂度的平均数记为，求的通项．

10 . 甲、乙两人比赛投篮，每人投三次，进球数多者获胜．设甲进球数为X．乙进球数为Y．已知X的分布列为

X	0	1	2	3
P

乙每次投球进球的概率都为，设，“乙获胜”．
(1)当时，请根据全概率公式，求乙获胜的概率；
(2)当两人进球数相同时记为“平局”，设“甲、乙达成平局”的概率为，当取最大值时，求的均值与方差．