1 . 伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出. 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用. 伯努利不等式的一种常见形式为：

当，时，，当且仅当或时取等号.

(1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？
(2)数学上常用表示，，，的乘积，，.

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）已知直线与函数的图象在坐标原点处相切，数列满足：，，证明：.

2 . 某学校食堂每天中午为师生提供了冰糖雪梨汤和苹果百合汤，其均有止咳润肺的功效．某同学每天中午都会在两种汤中选择一种，已知他第一天选择冰糖雪梨汤的概率为，若前一天选择冰糖雪梨汤，则后一天继续选择冰糖雪梨汤的概率为，而前一天选择苹果百合汤，后一天继续选择苹果百合汤的概率为，如此往复．
(1)求该同学第二天中午选择冰糖雪梨汤的概率．
(2)记该同学第天中午选择冰糖雪梨汤的概率为，证明：为等比数列．
(3)求从第1天到第10天中，该同学中午选择冰糖雪梨汤的概率大于苹果百合汤概率的天数．

3 . 对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，.
(1)证明：.
(2)若方阵，满足，且，证明：.

4 . 一般地，个有序实数，，，组成的数组，称为维向量，记为.类似二维向量，对于维向量，也可以定义向量的加法运算、减法运算、数乘运算、数量积运算、向量的长度（模）、两点间的距离等，如，则；若存在不全为零的个实数，，，使得，则向量组，，，是线性相关的向量组，否则，说向量组，，，是线性无关的.
(1)判断向量组，，是否线性相关？
(2)若，，，当且时，证明：.

5 . 若给定一个数列，其连续两项之差构成一个新数列：，，，…，，…，这个数列称为原数列的“一阶差数列”，记为，其中.再由的连续两项的差得到新数列，，，…，，…，此数列称为原数列的“二阶差数列”，记为，其中.以此类推，可得到的“p阶差数列”.如果数列的“p阶差数列”是非零常数数列，则称为“p阶等差数列”.
(1)证明由完全立方数组成的数列是“3阶等差数列”；
(2)若（且，），证明数列是“k阶等差数列”，并且若将的“k阶差数列”记作，则.

6 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

7 . 三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”“化圆为方问题”并称为“古代三大几何难题”.公元六世纪时，数学家帕普斯曾证明用一固定的双曲线可以解决“三等分角问题”.某同学在学习过程中，借用帕普斯的研究，使某锐角的顶点与坐标原点重合，点在第四象限，且点在双曲线的一条渐近线上，而与在第一象限内交于点.以点为圆心，为半径的圆与在第四象限内交于点，设的中点为，则.若，则的值为__________.

8 . 定义：若椭圆上的两个点，满足，则称A，B为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆C：上一点．
(1)求“共轭点对”中点B所在直线l的方程．
(2)设O为坐标原点，点P，Q在椭圆C上，且，（1）中的直线l与椭圆C交于两点．
①求点，的坐标；
②设四点，P，，Q在椭圆C上逆时针排列，证明：四边形的面积小于．

9 . 已知指数函数经过点.求：
(1)若函数的图象与的图象关于直线对称，且与直线相切，求的值；
(2)对于实数，，且，①；②.
在两个结论中任选一个，并证明.（注：如果选择多个结论分别证明，按第一个计分）

10 . 已知
(1)若，，，请比较a，b，c的大小；
(2)若函数有两个零点，证明：．