1 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

2 . 已知数列的前项和为，且满足.
(1)证明：.
(2)当时，求证：；
(3)是否存在常数，使得为等比数列？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由.

3 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论.

4 . 已知函数，其中.
(1)求曲线在处的切线方程，并证明当时，；
(2)若有三个零点，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：.

5 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，证明：．

6 . 已知函数．
(1)证明：时恒成立；
(2)设，求证：．

7 . 设函数.
(1)当时，若函数在其定义域内单调递增.求b的取值范围；
(2)若， ，证明：时，；
(3)若有两个零点，，且，求证：.

8 . 已知函数（，其中为自然对数的底数）．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，证明：有且只有一个零点，且；
(3)当时，若且，求证：．

9 . 已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

10 . 设，函数．
(1)判断的零点个数，并证明你的结论；
(2)若，记的一个零点为，若，求证：．