1 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数
都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：
（
为的质因数个数，
为质数，
），例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函数
(1)求
；
(2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为
，
①若
，求
；
②若
且
，求．
都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求
；(2)记
的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，①若
，求；②若
且，求．
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2 . “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（ ）
A． |
| B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 |
C．记第n行的第i个数为 ，则 |
D．第20行中第8个数与第9个数之比为 |
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3 . 已知
，则
在点
处切线方程为______ ；若
，其中
，且对于一切
都有
，则
的最小值是______ ．
，则在点处切线方程为，其中，且对于一切都有，则的最小值是
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4 . 已知函数的定义域为
，且
，
，则不等式
的解集为（ ）
的定义域为，且，，则不等式的解集为（ ）A． | B． | C． | D． |
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解题方法
5 . 
的展开式中，把
，
，
，…，
叫做三项式的n次系数列．
(1)求
的值；
(2)根据二项式定理，将等式
的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如
．理解上述思想方法，利用方程
，请化简：
．
的展开式中，把，，，…，叫做三项式的n次系数列．(1)求
的值；(2)根据二项式定理，将等式
的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如．理解上述思想方法，利用方程，请化简：．
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名校
6 . 已知函数
均为实数，
为
的导函数.
(1)当
时，求函数的单调区间;
(2)当
时，若函数
与直线
在
上有两个不同的交点，求实数
的取值范围.
(3)当
时，已知
，若存在
，使得
成立，求证:
.
均为实数，为的导函数.(1)当
时，求函数的单调区间;(2)当
时，若函数与直线在上有两个不同的交点，求实数的取值范围.(3)当
时，已知，若存在，使得成立，求证:.
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名校
解题方法
7 . 若关于
的不等式
在
内有解，则实数
的取值范围是______ ．
的不等式在内有解，则实数的取值范围是
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解题方法
8 . （1）请在以下两个组合恒等式中选择一个证明（如果两个都选，则按第①个计分）；
①
，②
.
（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有
种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有
.所以：
.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；
（3）化简：
.
①
，②.（2）某同学在研究组合问题时解决了如下问题：从全班50名同学中选取8人组成班委团队，并选举1人担任班长，共有多少种不同的选举方法?一方面，可以首先从50名同学中选取8人组成班委团队，再从8人中选取1人做班长，则共有
种选举方法；另一方面，也可以首先从50名同学中选取1人做班长，再在余下的49名同学中选取7人做其余的班委，则共有.所以：.据此请你提出一个较一般的结论，并证明你的结论；（3）化简：
.
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9 . 古希腊数学家托勒密对凸四边形
凸四边形是指没有角度大于
的四边形
进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形
中，
，
，(图1)，求线段
长度的最大值；
(2)若
，
，
，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立．且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：如图，在凸四边形
中，
，，(图1)，求线段长度的最大值；(2)若
，，，（图2），求四边形面积取得最大值时角A的余弦值，并求出四边形面积的最大值．
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2024-08-25更新
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183次组卷
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2卷引用：江苏省启东中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
10 . 在面积为S的
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求C的值；
(2)若
，求周长的最大值；
(3)若为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求C的值；
(2)若
，求周长的最大值；(3)若
为锐角三角形，且AB边上的高h为2，求面积的取值范围．
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2024-08-25更新
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1112次组卷
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2卷引用：江苏省徐州市铜山区2023-2024学年高一下学期4月期中学情调研数学试题
