1 . 已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围．
，．(1)讨论
的单调性；(2)若
有两个零点，求实数的取值范围；(3)若
对任意的恒成立，求实数的取值范围．
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652次组卷
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3卷引用：辽宁省辽阳市辽阳县辽阳石油化纤公司高级中学2024届高三下学期模拟考试数学试题
2 . 在平面直角坐标系
中，利用公式
①（其中，
，
，
为常数），将点
变换为点
的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表
唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
，
，…表示.中，将点绕原点
按逆时针旋转
角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(2)在平面直角坐标系中，求双曲线
绕原点按逆时针旋转
（到原点距离不变）得到的双曲线方程
；
(3)已知由（2）得到的双曲线，上顶点为
，直线
与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与
轴交于点
.设直线
，
的倾斜角分别为，
，求证：
为定值.
中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示.
中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；(2)在平面直角坐标系
中，求双曲线绕原点按逆时针旋转（到原点距离不变）得到的双曲线方程；(3)已知由（2）得到的双曲线
，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于，两点（在第一象限），与轴交于点.设直线，的倾斜角分别为，，求证：为定值.
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3 . 已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，求函数在区间
上的零点个数.
.(1)求函数
的单调区间；(2)若
，求函数在区间上的零点个数.
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名校
解题方法
4 . 切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量
，若其数学期望
和方差
均存在，则对任意正实数
，有
.根据该不等式可以对事件
的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号
次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有
的把握使发射信号“1”的频率在区间
内，估计信号发射次数的值至少为______ .
，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为
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5 . 双曲线
的左、右顶点分别为
，左、右焦点分别为
，过
作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若
，且
，则直线
与
的斜率之积为（ ）
的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点.若，且，则直线与的斜率之积为（ ）A． | B． | C． | D． |
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55次组卷
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5卷引用：辽宁省朝阳市建平县实验中学2024届高三第五次模拟考试数学试题
辽宁省朝阳市建平县实验中学2024届高三第五次模拟考试数学试题黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024届高三第二次模拟考试数学试卷（已下线）模块4 二模重组卷 第2套 全真模拟卷湖北省黄冈市文海大联考2024届高三下学期临门一卷（三模）数学试题（已下线）数学（九省新高考新结构卷03）
6 . 已知函数
随机变量
，随机变量
，
的期望为
.
(1)当
时，求
；
(2)当
时，求的表达式.
随机变量，随机变量，的期望为.(1)当
时，求；(2)当
时，求的表达式.
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254次组卷
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3卷引用：辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期三模数学试题
（已下线）辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期三模数学试题河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷 (新高考)内蒙古自治区锡林郭勒盟2024届高三下学期5月模拟考试理科数学试题
名校
解题方法
7 . 设函数
的定义域为
为奇函数，
为偶函数，若
1，则
（ ）
的定义域为为奇函数，为偶函数，若1，则（ ）| A．1 | B． | C．0 | D． |
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1266次组卷
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5卷引用：辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期三模数学试题
（已下线）辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期三模数学试题河南省部分重点高中2023-2024学年高三下学期5月联考数学试卷 (新高考)2024届青海省海南藏族自治州高考二模数学（理科）试卷内蒙古自治区锡林郭勒盟2024届高三下学期5月模拟考试理科数学试题（已下线）第4题 函数性质的综合应用（高二期末每日一题）
名校
8 . 记
，若存在
，满足：对任意
，均有
，则称
为函数在
上的最佳逼近直线.已知函数
，
.
(1)请写出在上的最佳逼近直线，并说明理由；
(2)求函数
在上的最佳逼近直线.
，若存在，满足：对任意，均有，则称为函数在上的最佳逼近直线.已知函数，.(1)请写出
在上的最佳逼近直线，并说明理由；(2)求函数
在上的最佳逼近直线.
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解题方法
9 . 已知函数
存在两个极值点，若对任意满足
的
，均有
，则实数的取值范围为（ ）
存在两个极值点，若对任意满足的，均有，则实数的取值范围为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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名校
解题方法
10 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线
经过点
，点与点关于原点对称，为
上一动点，且异于，两点．若
的重心为，点
，则
的最小值______ ；
中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于，两点．若的重心为，点，则的最小值
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