1 . （1）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，，求数列的通项公式；
（2）已知各项均为正数的无穷数列满足：对于，都有，其中为常数.
①若，，记，数列的前项和满足，求数列的通项公式：
②记，证明：数列中存在小于1的项.

2 . 有一个益智类的古堡探险闯关游戏，玩家每局都有甲､乙两座不同的古堡可供选择.已知某玩家古堡甲闯关成功的概率为，古堡乙闯关成功的概率为.若该玩家第一局选择古堡甲闯关的概率为，前一局选择了古堡甲闯关，则继续选择古堡甲闯关的概率为；前一局选择了古堡乙闯关，则继续选择古堡乙闯关的概率为.
(1)求该玩家第一局闯关成功的概率；
(2)记该玩家第局选择古堡甲闯关的概率为，第局闯关成功的概率为.
（i）求和的表达式；
（ii）当时，求证：.

3 . 在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（       ）

A．当点为三角形的重心时，

B．当时，的最小值为

C．当点在平面内时，的最大值为2

D．当时，点到的距离的最小值为

4 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：的离心率为，直线l与Γ相切，与圆O：相交于A，B两点.当l垂直于x轴时，.
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为.
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当的面积最大时，求；
（ⅱ）若，均存在，记两者中的较大者为.已知，，均存在，证明：.

5 . 已知圆M： ，以下四个命题表述正确的是（       ）

A．若圆与圆M恰有一条公切线，则m=-8

B．圆与圆M的公共弦所在直线为

C．直线与圆M恒有两个公共点

D．点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，若Q，则CQ的最大值为

6 . 已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

7 . 现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．

8 . 定义：函数，的定义域的交集为，，若对任意的，都存在，使得，，成等比数列，，，成等差数列，那么我们称，为一对“函数”，已知函数，，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若，对任意的，，为一对“函数”，求证：．（为自然对数的底数）