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解题方法
1 . 已知函数
.
(1)若函数
在
处切线的斜率为
，求实数
的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的最大值；
(3)当时，证明：
.(1)若函数
在处切线的斜率为，求实数的值；(2)当
时，恒成立，求实数的最大值；(3)当
时，证明：
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2 . 下列不等式中正确的是（ ）
A． | B． |
C． | D． |
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3 . 对于函数
的导函数
，若在其定义域内存在实数
和t，使得
成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”．
(1)试分别判断函数
，
和
，
是不是“卓然”函数？并说明理由；
(2)若
是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；
(3)证明：
是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”．(1)试分别判断函数
，和，是不是“卓然”函数？并说明理由；(2)若
是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；(3)证明：
是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
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解题方法
4 . 柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足:
①图象在
上是一条连续不断的曲线；
②在
内可导;
③对
，
，则
，使得
.
特别的，取
，则有：，使得
，此情形称之为拉格朗日中值定理.
(1)设函数
满足
，其导函数
在
上单调递增，证明：函数
在
上为增函数.
(2)若
且
，不等式
恒成立，求实数的取值范围.
①图象在
上是一条连续不断的曲线；②在
内可导;③对
，，则，使得.特别的，取
，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理.(1)设函数
满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数.(2)若
且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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真题
5 . 已知集合
．给定数列
，和序列
，其中
，对数列
进行如下变换：将的第
项均加1，其余项不变，得到的数列记作
；将的第
项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到
，简记为
．
(1)给定数列
和序列
，写出；
(2)是否存在序列
，使得为
，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；
(3)若数列的各项均为正整数，且
为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“
”．
．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．(1)给定数列
和序列，写出；(2)是否存在序列
，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；(3)若数列
的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．
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6 . 已知函数
.
(1)讨论的单调性；
(2)当
时，
，数列
满足
，且
①比较
，
，1的大小
②证明：
.
.(1)讨论
的单调性；(2)当
时，，数列满足，且①比较
，，1的大小②证明：
.
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解题方法
7 . 现有
个编号为
的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组
个． 设甲组中小球的最小编号为
,最大编号为
；乙组中小球的最小编号为
,最大编号为
记
,
(1)当
时,求
的分布列和数学期望；
(2)令表示“事件与
的取值恰好相等”．
①求事件发生的概率
；
②证明：
个编号为的小球,随机将它们分成甲、乙两组,每组个． 设甲组中小球的最小编号为,最大编号为；乙组中小球的最小编号为,最大编号为 记,(1)当
时,求的分布列和数学期望；(2)令
表示“事件与的取值恰好相等”．①求事件
发生的概率；②证明：
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8 . 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量
的所有可能取值为0，1，2…，且
，
其中
，则称服从泊松分布，记作
.
(1)设，且
，求
；
(2)已知当
，
时，可以用泊松分布
近似二项分布
，即对于
，
，当
不太大时，有
.
（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；
（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.
的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作.(1)设
，且，求；(2)已知当
，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；
（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.
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9 . 约数，又称因数．它的定义如下：若整数a除以整数m（
）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．
设正整数a有k个正约数，即为，，⋯
，
，（
）．
(1)当
时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；
(2)当
时，若
，
，⋯
构成等比数列，求正整数a．
(3)当时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，
，
，⋯，
是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
）除得的商正好是整数而没有余数，我们就称a为m的倍数，称m为a的约数．设正整数a有k个正约数，即为
，，⋯，，（）．(1)当
时，是否存在，，…，构成等比数列，若存在请写出一个满足条件的正整数a的值，若不存在请说明理由；(2)当
时，若，，⋯构成等比数列，求正整数a．(3)当
时，若，，…，是a的所有正约数的一个排列，那么，，，⋯，是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
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真题
10 . 若函数
恰有一个零点，则的取值范围为______ ．
恰有一个零点，则的取值范围为
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