高中数学综合库练习题及答案-福建高中数学阶段练习-组卷网

23-24高二下·广西·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

简单复合函数的导数由导数求函数的最值（不含参）利用导数研究不等式恒成立问题

名校

解题方法

利用导数求解函数的最值利用导数解决恒能成立问题

1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为

，其中

为参数．当

时，就是双曲余弦函数

，类似地我们可以定义双曲正弦函数

．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，

，

，请写出

，

具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当

时，

恒成立，求实数

的取值范围；
(3)求

的最小值．

2024-03-10更新 | 1098次组卷 | 16卷引用：福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考（2）数学试题

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23-24高一下·福建三明·阶段练习

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

平面向量数量积的定义及辨析求复数的模

名校

2 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对

（其中

）视为一个向量，记作

，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量

，我们有如下运算法则：
①

②

；
③

④

(1)设

，

为虚数单位，求

，

；
(2)设

是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量

，（其中

），

成立，证明：对于复向量

，

也成立；
②当

时，称复向量

与

平行.若复向量

与

平行（其中

为虚数单位，

），求复数

.

2024-04-03更新 | 276次组卷 | 1卷引用：福建省三明第一中学2023-2024学年高一3月月考数学试题

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23-24高一下·福建莆田·期中

多选题 | 适中(0.65) |

锥体体积的有关计算平面的基本性质的有关计算证明线面平行求线面角

名校

解题方法

证明线线、线面平行的方法定义法或几何法求线线、线面、面面角

3 . 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体

的棱长都是2（如图），则（）

A．

平面

B．直线

与平面

所成的角为60°

C．若点

为棱

上的动点，则

的最小值为

D．若点

为棱

上的动点，则三棱锥

的体积为定值

2024-06-11更新 | 964次组卷 | 4卷引用：福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

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23-24高一下·江苏无锡·期中

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

证明线面平行证明线面垂直线面垂直证明线线垂直线面平行的性质

名校

解题方法

证明线线、线面平行的方法证明线线、线面垂直的方法

4 . 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥

中，

平面

．

(1)证明：三棱锥

为鳖臑；
(2)若

为

上一点，点

分别为

的中点．平面

与平面

的交线为

．
①证明：直线

平面

；
②判断

与

的位置关系，并证明你的结论．

2024-04-29更新 | 1542次组卷 | 6卷引用：福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题

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22-23高二下·福建福州·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

函数奇偶性的定义与判断复合函数的单调性根据函数的单调性解不等式由函数奇偶性解不等式

名校

解题方法

单调性与奇偶性综合问题

5 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为

，相应的双曲正弦函数的表达式为

.设函数

，
(1)证明：

是奇函数；
(2)判断

在

上的单调性(无需严格证明)；
(3)若实数m满足不等式

，求m的取值范围？

2023-08-22更新 | 246次组卷 | 2卷引用：福建省长乐第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

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22-23高二上·浙江杭州·期末

单选题 | 较易(0.85) |

求平面轨迹方程轨迹问题——椭圆

名校

6 . 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当

时，轨迹为椭圆；当

时，轨迹为抛物线；当

时，轨迹为双曲线．现有方程

表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为（）

A．

B．

C．

D．

2023-03-22更新 | 362次组卷 | 3卷引用：福建省三明第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

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2023·江苏盐城·模拟预测

解答题-证明题 | 适中(0.65) |

根据a、b、c求椭圆标准方程椭圆中向量共线比例问题平面解析几何

名校

解题方法

向量共线问题

7 . 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率

等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系

中，椭圆

：

的面积为

，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点

的直线

与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线

交于点F，试证明B，Q，F三点共线.

2023-06-07更新 | 1302次组卷 | 10卷引用：福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

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22-23高一下·四川成都·期中

解答题-证明题 | 较难(0.4) |

三角函数综合利用定义求某角的三角函数值余弦定理解三角形三角函数与解三角形

名校

解题方法

数形结合思想

8 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角