1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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2024-01-27更新
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946次组卷
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9卷引用：福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题
福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（2）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考（一）数学试题（已下线）第8章：向量的数量积与三角恒等变换章末综合检测卷（新题型）-【帮课堂】（人教B版2019必修第三册）（已下线）专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)（已下线）专题08 期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类-期末真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）
名校
2 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对
（其中
）视为一个向量，记作
，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量
，我们有如下运算法则：
①
②
；
③
④
(1)设
，
为虚数单位，求
，
，
；
(2)设
是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量
，（其中
），
成立，证明：对于复向量
，
也成立；
②当
时，称复向量
与
平行.若复向量
与
平行（其中为虚数单位，
），求复数
.
（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：①
②
；③
④
(1)设
，为虚数单位，求，，；(2)设
是两个复向量，①已知对于任意两个平面向量
，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；②当
时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.
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名校
3 . 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体
的棱长都是2（如图），则（ ）
的棱长都是2（如图），则（ ）
A． 平面 |
B．直线 与平面 所成的角为60° |
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为 |
D．若点为棱上的动点，则三棱锥 的体积为定值 |
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2024-06-11更新
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953次组卷
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4卷引用：福建省莆田第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
4 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为
，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．
(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，
，
，请写出
，
具有的类似的性质（不需要证明）；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)求
的最小值．
，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．(1)类比正、余弦函数导数之间的关系，
，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；(2)当
时，恒成立，求实数的取值范围；(3)求
的最小值．
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2024-03-10更新
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1093次组卷
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16卷引用：福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考（2）数学试题
福建省龙岩市连城县第一中学2023-2024学年高二下学期5月月考（2）数学试题广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷（已下线）模块一 专题3 导数在研究函数极值和最值中的应用（B）（已下线）综合检测卷（数列+导数）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（北师大版2019选择性必修第二册）湖北省荆州市沙市中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题广东省揭阳市惠来县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）模块四 专题1 高考新题型专练（新定义专练）（人教A）（高二）（已下线）高二下学期第一次月考模拟卷（新题型）（导数+计数原理）-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019）河北省正定中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题河北省邯郸市大名县第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷山东省临沂市第二十四中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题吉林省长春外国语学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷（已下线）模块一 专题3 《导数在研究函数极值和最值中的应用》B提升卷（苏教版）（已下线）模块三 专题3 高考新题型专练 专题2 新定义专练（苏教版）广东省深圳市高级中学（集团）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（已下线）上海市四校（复兴高级中学、松江二中、奉贤中学、金山中学）2024届高三下学期3月联考数学试题变式题17-21
名校
解题方法
5 . 我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥
中，
平面
．
为鳖臑；
(2)若
为
上一点，点
分别为
的中点．平面
与平面
的交线为
．
①证明：直线
平面；
②判断
与的位置关系，并证明你的结论．
中，平面．
为鳖臑；(2)若
为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．①证明：直线
平面；②判断
与的位置关系，并证明你的结论．
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2024-04-29更新
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1534次组卷
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6卷引用：福建省部分优质高中2023-2024学年高一下学期第二次阶段性检测数学试题
名校
解题方法
6 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数
，
(1)证明：
是奇函数；
(2)判断在
上的单调性(无需严格证明)；
(3)若实数m满足不等式
，求m的取值范围？
，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，(1)证明：
是奇函数；(2)判断
在上的单调性(无需严格证明)；(3)若实数m满足不等式
，求m的取值范围？
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7 . “太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”，“大衍数列”来源于《乾坤谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”
的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足
其中
.
(1)求
（用
表示）；
(2)设数列
满足：
其中，
是的前
项的积，求证：
，
.
的前几项分别是：0，2，4，8，12，18，24，…，且满足其中.(1)求
（用表示）；(2)设数列
满足：其中，是的前项的积，求证：，.
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2023-11-11更新
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1175次组卷
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4卷引用：福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷
福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷江苏省盐城市2023-2024学年高三上学期期中数学试题重庆市2024届高三上学期11月月度质量检测数学试题（已下线）专题10 数列不等式的放缩问题 （7大核心考点）（讲义）
名校
8 . 17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对
（
为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在
的素数中，当
，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了
和
两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为
.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数
，第8个梅森素数
，则
约等于（参考数据：
）（ ）
（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ）| A．17.1 | B．8.4 | C．6.6 | D．3.6 |
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2023-08-11更新
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872次组卷
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5卷引用：福建省三明市2023届高三三模数学试题
福建省三明市2023届高三三模数学试题（已下线）专题4.3 对数【七大题型】-举一反三系列（已下线）4.3 对数运算（精讲）-《一隅三反》浙江省杭州绿城育华学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题（已下线）专题21 指数、对数、幂函数小题
名校
解题方法
9 . 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系
中，椭圆
：
的面积为
，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点
的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线
交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线
交于点F，试证明B，Q，F三点共线.
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2023-06-07更新
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1297次组卷
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10卷引用：福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题
福建省宁德市博雅培文学校2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题江苏省盐城中学2023届高三全仿真模拟考试数学试题江苏省镇江市扬中市第二高级中学2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题（已下线）2023年北京高考数学真题变式题16-21（已下线）模块四 专题6 大题分类练（圆锥曲线的方程）拔高能力练（人教A）（已下线）重难点突破10 圆锥曲线中的向量问题（五大题型）（已下线）重难点突破19 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质、三点共线问题（六大题型）-2四川省泸州市叙永第一中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题03 圆锥曲线题型全归纳（九大考点）-【寒假自学课】2024年高二数学寒假提升学与练（人教A版2019）（已下线）第7讲：圆锥曲线的模型【练】
名校
解题方法
10 . 数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
且
的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系
中，
，动点
满足
，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线
与圆恒有公共点，则
的取值范围是（ ）
且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-05-27更新
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1078次组卷
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7卷引用：福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
福建省厦门市湖滨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期高考适应性考试数学试题第二章 直线和圆的方程 讲核心03（已下线）第09讲 2.5.1直线与圆的位置关系（3）（已下线）2.5.1 直线与圆的位置关系 精练（10大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高二数学同步讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题09 点与圆的位置关系（期末选择题9）-2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）（已下线）专题1 超级名圆 性质优先 练
