1 . 如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

   

(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(3)证明：直线过定点.

2 . 如图四边形ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)若BE与平面ABCD所成角为，求二面角的正弦值.

3 . 已知函数，且．
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

5 . 如图，在多面体中，已知四边形为矩形，为平行四边形，平面的中点为的中点为，且.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.

6 . 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中点．

(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

7 . 已知直线.
（1）求证：无论实数a为何值，直线l总经过第一象限；
（2）若直线l不经过第二象限，求a的取值范围.

8 . 如图，直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，，E为的延长线上一点，平面，设．

(1)求平面EAC的法向量；
(2)在线段上取一点P，满足，求证：平面EAC．

9 . 已知函数，（且）.
（1）求的定义域及的定义域.
（2）判断并证明的奇偶性.

10 . 已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线：（）与曲线有（）个公共点.
(1)若，求的最小值；
(2)若，记这个交点为，，，其中在第一象限，，证明：