1 . 设函数，且.
(1)请判断并证明的奇偶性；
(2)试判断在上的单调性，并用定义加以证明；

2 . 在数列中，，．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)求数列的通项公式．

3 . 定义在上的函数满足，.
(1)求的值
(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；
(3)若函数在上单调递增，求不等式的解集.

4 . 如图，在平面四边形中，．

(1)判断的形状并证明；
(2)若，，，求四边形的对角线的最大值．

5 . 已知函数，.
(1)若，求函数在的值域；
(2)若，求证.求的值；
(3)令，则，已知函数在区间有零点，求实数k的取值范围.

6 . 已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立.
(1)求
(2)类比以下比较与的大小关系，尝试判断的单调性，并用定义证明；，所以.
(3)若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.

7 . 已知函数.
(1)求的定义域和值域；
(2)判断与的关系，并证明.

8 . 已知定义域为，对任意都有，当时，，．
(1)试判断在上的单调性，并证明
(2)解不等式：

9 . 设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.
(1)计算：；
(2)，是否都有成立，若是，请给出证明；若不是，请给出理由；
(3)若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素.

10 . 在中，a、b、c分别为角A，B，C的对边，平面内点O满足，且．
(1)证明：点O为三角形的外心；
(2)求的取值范围．