名校
1 . 在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球
次,红球出现
次.假设每次摸出红球的概率为
,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率
的估计值为
.
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为
,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球,设摸出的球为红球的次数为
,则
.
(注:
表示当每次摸出红球的概率为
时,摸出红球次数为
的概率)
(ⅰ)完成下表,并写出计算过程;
(ⅱ)在统计理论中,把使得
的取值达到最大时的
,作为
的估计值,记为
,请写出
的值.
(2)把(1)中“使得
的取值达到最大时的
作为
的估计值
”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤:先对参数
构建对数似然函数
,再对其关于参数
求导,得到似然方程
,最后求解参数
的估计值.已知
的参数
的对数似然函数为
,其中
.求参数
的估计值,并且说明频率估计概率的合理性.
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(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为
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(注:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c74de541a96a252ca6b4bf05381a03ec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
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(ⅰ)完成下表,并写出计算过程;
0 | 1 | 2 | 3 | |
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(2)把(1)中“使得
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178次组卷
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7卷引用:浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题
浙江省杭州市2024届高三下学期4月教学质量检测数学试题吉林省长春市实验中学2024届高三下学期对位演练考试数学试卷(一)重庆市七校联盟2024届高三下学期三诊考试数学试题贵州省贵阳市第一中学等校2024届高三下学期三模数学试题(已下线)压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总山东省青岛第一中学2023-2024学年高二下学期第一次模块考试数学试题(已下线)专题02 高二下期末真题精选(压轴题 )-高二期末考点大串讲(人教A版2019)
名校
解题方法
2 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异.”“势”即是几何体的高,“幂”是截面积,意思是:如果两等高的几何体在同高处的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线
的焦点在
轴上,离心率为
,且过点
,则双曲线的渐近线方程为______ .若直线
与
在第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形,则该图形绕
轴旋转一周所得几何体的体积为______ .
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名校
解题方法
3 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积,体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图,“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……第
层球数比第
层球数多
,设各层球数构成一个数列
.
的通项公式;
(2)求
的最小值;
(3)若数列
满足
,对于
,证明:
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76aef4cdcb5af742ce28003b7b6c8c20.png)
(2)求
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(3)若数列
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4 . 我国元代数学家朱世杰在他的《四元玉鉴》一书中对高阶等差数列求和有精深的研究,即“垛积术”.对于数列
,①,从第二项起,每一项与它前面相邻一项的差构成数列
,②,称该数列②为数列①的一阶差分数列,其中
;对于数列②,从第二项起,每一项与它前面相邻一项的差构成数列
,③,称该数列③为数列①的二阶差分数列,其中
按照上述办法,第
次得到数列
,④,则称数列④为数列①的
阶差分数列,其中
,若数列
的
阶差分数列是非零常数列,则称数列
为
阶等差数列(或高阶等差数列).
(1)若高阶等差数列
为
,求数列
的通项公式;
(2)若
阶等差数列
的通项公式
.
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1e1f74af47ea73ea7fa4e19a51166244.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b397162165301246a7616800610ea6d2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/648eaff4ff716932fdbab7ee616b914d.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11bc05f41215f9894e11d1df0465751a.png)
(1)若高阶等差数列
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(2)若
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(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求数列的前
项和
.
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5 . 在数学中,把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数(质数).历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”
;还有“欧拉质数多项式”:
.但经后人研究,这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB数据加密协议:将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数,比如分数
的分子分母分别乘以同一个素数19,就会得到加密数据
.这个过程叫加密,逆过程叫解密.
(1)数列
中
经DZB数据加密协议加密后依次变为
.求经解密还原的数据
的数值;
(2)依据
的数值写出数列
的通项公式(不用严格证明但要检验符合).并求数列
前
项的和
;
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质,构造函数
是方程
的两个根
是
的导数.设
.证明:对任意的正整数
,都有
.(本小题数列
不同于第(1)(2)小题)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29e8e0703bc265e4b6659d5076564fcd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b09c918f20cda7e931d16ba79baf0020.png)
(1)数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97c14d9ae06f864498048d55088ff4e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/72c12274ae6ca7bc2d0ad2ced6a0337d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97c14d9ae06f864498048d55088ff4e6.png)
(2)依据
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97c14d9ae06f864498048d55088ff4e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08eb71ecf8d733b6932f4680874dbbf3.png)
(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质,构造函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d26cf2a1b49eb3f90d64d7fc526bf4c7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/86b92b70365c63607daecdc8deb73ecf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a6ce810257873cb94a56a93b39537d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b00e0b2cfc9260694affc6b33f59eb89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6148cff72e9eabbf9912e158b52f0129.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
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2024-05-28更新
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525次组卷
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2卷引用:安徽省皖北五校联盟2024届高三第二次联考数学试卷
解题方法
6 . 法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程
的两个根
不同幂的和时,发现了
,
,…,由此推算![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/75149d101c708cf669271cad3ce936ca.png)
______________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4cdd6f27334444c1884876b9e4cfe6f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ce7ae90d808f05e86ea063238e4b2f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e8d8441014892f9ad3dbaad3f89774e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62bdaecba44c33044ad3ad3e271d2884.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/75149d101c708cf669271cad3ce936ca.png)
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7 . 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积,体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中,杨辉将堆垛与相应立体图形作类比,推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图,“三角垛”的最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球……第
层球数是第n层球数与
的和,设各层球数构成一个数列
.
的通项公式;
(2)证明:当
时,![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2cbad207743c20091cdc5e2114184a01.png)
(3)若数列
满足
,对于
,证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a0876215b2fd463d151523cd3c6b447.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a0876215b2fd463d151523cd3c6b447.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/83cf38189d5cbf627d2b82ac0eb76006.png)
(2)证明:当
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08115d6d9f876dea921a4d32260ff1fb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2cbad207743c20091cdc5e2114184a01.png)
(3)若数列
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/034ba25825c13725931c483aa47c9363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c1ecbdd820cb0c4945e124d29a2b9d0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a37a59558292ad6b3d0978bfd7484990.png)
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8 . 人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的,以后人们又认为地球是个圆球.17世纪,牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论,这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度测量所证实.其实,之前中国就曾进行了大规模的弧度测量,发现纬度越高,每度子午线弧长越长的事实,这同地球两极略扁,赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体,椭球体的表面为椭球面,在空间直角坐标系下,椭球面
,这说明椭球完全包含在由平面
所围成的长方体内,其中
按其大小,分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面
的截痕是椭圆
.
(1)已知椭圆
在其上一点
处的切线方程为
.过椭圆
的左焦点
作直线
与椭圆
相交于
两点,过点
分别作椭圆的切线,两切线交于点
,求
面积的最小值.
(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当
时,椭球面
围成的椭球是一个旋转体,类比计算球的体积的方法,运用祖暅原理求该椭球的体积.
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(1)已知椭圆
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(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.祖暅原理用现代语言可描述为:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.当
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解题方法
9 . 数学家Geminad Dandelin用一平面截圆锥后,在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥侧面、截面相切,就可证明图中平面截圆锥得到的截面是椭圆(如图称为丹德林双球模型).若圆锥的轴截面为正三角形,则用与圆锥的轴成
角的平面截圆锥所得椭圆的离心率为__________ .
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名校
解题方法
10 . 华罗庚是享誉世界的数学大师,国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等,其斐然成绩早为世人所推崇.他曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”,告知我们把“数”与“形”,“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径.在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来分析函数图象的特征.已知函数
的图象如图所示,则
的解析式可能是( )
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2024-03-12更新
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845次组卷
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3卷引用:四川省成都市第七中学2024届高三下学期二诊模拟考试文科数学试卷