1 . 近年来，由于互联网的普及，直播带货已经成为推动消费的一种营销形式.某直播平台工作人员在问询了解了本平台600个直播商家的利润状况后，随机抽取了100个商家的平均日利润（单位：百元）进行了统计，所得的频率分布直方图如图所示.

   

(1)求m的值，并估计该直播平台商家平均日利润的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
(2)以样本估计总体，该直播平台为了鼓励直播带货，提出了两种奖励方案，一是对平均日利润超过78百元的商家进行奖励，二是对平均日利润排名在前的商家进行奖励，两种奖励方案只选择一种，你觉得哪种方案受到奖励的商家更多?并说明理由.

2 . 已知为双曲线的右顶点，过点的直线交于D、E两点.
(1)若，试求直线的斜率;
(2)记双曲线的两条渐近线分别为，过曲线的右支上一点作直线与，分别交于M、N两点，且M、N位于轴右侧，若满足，求的取值范围（为坐标原点）.

3 . 英国数学家泰勒（B.Taylor，1685—1731）发现了：当函数在定义域内n阶可导，则有如下公式：以上公式称为函数的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中，，表示的n阶导数，即连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)写出的泰勒展开式（至少有5项）；
(2)设，若是的极小值点，求实数a的取值范围；
(3)若，k为正整数，求k的值．

4 . 已知抛物线的焦点为，，，为上不重合的三点.
(1)若，求的值；
(2)过，两点分别作的切线，，与相交于点，过，两点分别作，的垂线，，与相交于点.
（i）若，求面积的最大值；
（ii）若直线过点，求点的轨迹方程.

5 . 1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程；
(2)若三次方程的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值；
(3)在的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）.

6 . 在三棱锥中，平面，是上一点，且，连接与，为中点.

(1)过点的平面平行于平面且与交于点，求；
(2)若平面平面，且，求点到平面的距离.

7 . （1）计算；
（2）已知关于的方程有实数解，求纯虚数.

8 . 小明将一套斜边相等的三角板拼在一起，构成四边形（如图1），其中

(1)求的长
(2)求的值
(3)如图2，四边形中，，求的值

9 . 高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
(1)求攻擂者组每道题答对的概率及守擂者组第1题后得分为0分的概率；
(2)设为3题后守擂者的得分，求的分布列与数学期望.

10 . 有两类多项选择题答题游戏，两项答题互不影响．若全部答对可认定为优良，答对部分可认定为合格，答错认定不合格．已知小林参加类答题游戏为优良和不合格的概率分别为和，参加类答题游戏为优良和不合格的概率均为．且小林每次答题后为优良、合格和不合格分别记分为3，1，0．
(1)求小林参加两类多项选择题答题游戏仅有一次为不合格的概率；
(2)若为小林的得分之和，求的分布列和数学期望．