1 . 平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题:

(1)若，求向量的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.

2 . 某公司举行新春联欢活动，活动有一个环节，所有员工抽取红包，每位员工可从下面两种方案中选择一种抽取红包.
方案一：4个红包内分别装有现金200元，400元、400元，800元，参与抽红包的员工可从中随机抽取2个；
方案二：员工通过手机扫公司提供的二维码进入活动页面抽取红包，每位员工可抽4次，每次抽中红包的概率均为，每个红包的金额均为元.
员工甲通过方案一抽取红包，员工乙通过方案二抽取红包，记甲、乙抽取的红包总金额分别为，元.
(1)求的分布列及期望；
(2)若，求的值.

3 . 某公司为监督检查下属的甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线出库的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品进行检验，检验后发现，甲生产线的合格品占八成、优等品占两成，乙生产线的合格品占九成、优等品占一成（合格品与优等品间无包含关系）．
(1)用分层随机抽样的方法从样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，记这2件产品中来自甲生产线的产品个数有个，求的分布列与数学期望；
(2)消费者对该公司产品的满意率为，随机调研5位购买过该产品的消费者，记对该公司产品满意的人数有人，求至少有3人满意的概率及的数学期望与方差．

4 . 通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，．已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取1名学生．
(1)求该学生为肥胖学生的概率；
(2)在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．

5 . 已知在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形;我们称由这三个等边三角形中心构成的三角形为其外拿破仑三角形．在锐角中，角所对的边分别为且，以的边分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，且的面积为，记为的外接圆半径．

   

(1)若，求;
(2)若，求面积的取值范围．

6 . 若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：

7 . 近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：

	喜欢增加体育运动时间	不喜欢增加体育运动时间
初中生	160	40
高中生	140	60

(1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；
(2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：

	0.05	0.01	0.005
	3.841	6.635	7.879

8 . 如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

   

(1)求四面体外接球的体积；
(2)求证：平面平面；
(3)若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.

9 . 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为，，，通过甲公司的测试后选择签约的概率为，通过乙公司的测试后选择签约的概率为，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
(1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
(2)设小王获得的年薪为（单位：万元），求的分布列及其数学期望．

10 . 已知分别为椭圆的左顶点和上顶点，过点作一条斜率存在且不为0的直线与轴交于点，该直线与的一个交点为，与曲线的另一个交点为．
(1)若平分，求的内切圆半径；
(2)设直线与的另一个交点为，则直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；否则，说明理由．