解题方法
1 . 定义：如果函数
在定义域内，存在极大值
和极小值
，且存在一个常数
，使
成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数
．
(1)当
时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在
使的极值差比系数为
？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求的极值差比系数的取值范围．
在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．(1)当
时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；(2)是否存在
使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(3)若
，求的极值差比系数的取值范围．
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名校
2 . 2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：
(1)试根据
的
独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？
精确到0.001
；
(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为
，求的分布列和数学期望.
参考公式及数据：
，其中
.
年龄 | 周平均锻炼时长 | 合计 | |
周平均锻炼时间少于4小时 | 周平均锻炼时间不少于4小时 | ||
50岁以下 | 40 | 60 | 100 |
50岁以上（含50） | 25 | 75 | 100 |
合计 | 65 | 135 | 200 |
的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为
，求的分布列和数学期望. | 0.1 | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，其中.
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解题方法
3 . 已知函数
.
(1)若
，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，求a的最小整数值.（参考数据：
）
.(1)若
，求的单调区间；(2)若
有两个极值点，求a的最小整数值.（参考数据：）
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4 . 设n为正整数，数列
为正整数数列，且满足数列
和
均为等差数列，则称数列为“五彩的”
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列
，通项公式为
(2)若数列为“五彩的”且严格单调递增.
（i）证明：数列和公差相等；
（ii）证明：数列一定为等差数列.
为正整数数列，且满足数列和均为等差数列，则称数列为“五彩的”(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数列
，通项公式为(2)若数列
为“五彩的”且严格单调递增.（i）证明：数列
和公差相等；（ii）证明：数列
一定为等差数列.
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5 . 已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若函数存在正零点
，
（i）求的取值范围；
（ii）记
为的极值点，证明：
.
.(1)当
时，求的单调区间；(2)若函数
存在正零点，（i）求
的取值范围；（ii）记
为的极值点，证明：.
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昨日更新
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474次组卷
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2卷引用：山东省济南市2025届高三上学期开学摸底考试数学试题
2025高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，且
，点
在椭圆
上，直线
．
(1)若直线
与椭圆有两个公共点，求实数
的取值范围；
(2)当
时，记直线与
轴，
轴分别交于
两点，
为椭圆上两动点，求
的最大值．
的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆上，直线．(1)若直线
与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围；(2)当
时，记直线与轴，轴分别交于两点，为椭圆上两动点，求的最大值．
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2025高三·全国·专题练习
解题方法
7 . 已知椭圆
的左､右焦点分别为
，且在抛物线
的准线上，点
是上的一个动点，
面积的最大值为
.
(1)求的方程；
(2)设经过右焦点且斜率不为0的直线交于
两点，线段
的垂直平分线交轴于点
，求
的取值范围.
的左､右焦点分别为，且在抛物线的准线上，点是上的一个动点，面积的最大值为.(1)求
的方程；(2)设经过
右焦点且斜率不为0的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.
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解题方法
8 . 已知抛物线
的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当
时，
．
(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且
，求直线AB和CD的方程．
的焦点为F，过点F且互相垂直的两条动直线分别与E交于点A，B和点C，D，当时，．(1)求E的方程；
(2)设线段AB，CD的中点分别为M，N，若直线AB的斜率为正，且
，求直线AB和CD的方程．
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解题方法
9 . 已知P为双曲线C：
上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．
(1)若点P是直线
与圆
的交点，求a；
(2)求
的取值范围．
上一点，O为坐标原点，线段OP的垂直平分线与双曲线C相切．(1)若点P是直线
与圆的交点，求a；(2)求
的取值范围．
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名校
解题方法
10 . 已知 
为抛物线 
的焦点， 过点 
的直线 与抛物线 
交于 
两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 
.
(1)设
是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 
， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;
(2)点 为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 
交于 
.
(i)若
，求 
的值；
(ii)证明:
为抛物线 的焦点， 过点 的直线 与抛物线 交于 两点， 抛物线 在 两点处的切线交于点 .(1)设
是抛物线 上一点， 证明: 抛物线 在点 处的切线方程为 ， 并利用切线方程求点 的纵坐标的值;(2)点
为抛物线 上异于 的点， 过点 作抛物线 的切线， 分别与线段 交于 .(i)若
，求 的值；(ii)证明:
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