1 . 已知函数.
(1)证明：当时，恒成立；
(2)首项为的数列满足：当时，有，证明：.

3 . 已知函数(e为自然对数的底数)有两个零点．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若的两个零点分别为，证明：．

4 . 已知点到的距离是点到的距离的2倍.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点与点关于点对称，点，求的最大值；
（3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由.

5 . 已知函数，其中为常数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个相异零点，求证：.

6 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)设，对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，求实数的取值范围(其中为自然对数的底数).

7 . 已知函数 .
（1）若在处，和图象的切线平行，求的值；
（2）设函数，讨论函数零点的个数.

8 . 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若存在，使得，试求的取值范围.

9 . 已知函数，.
（1）若在区间上不是单调函数，求实数的范围；
（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，而且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由.