1 . 已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．

3 . 已知函数（）．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)如果函数恰有两个不同的极值点，，证明：．

4 . 已知函数（）.
(1)证明：；
(2)设为的极值点，证明：.

5 . 已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若恒成立，求a的取值范围．

6 . 已知函数．
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)当时，设，求证：．

7 . 已知函数，，曲线在处的切线的斜率为．
(1)求实数a的值；
(2)对任意的，恒成立，求实数t的取值范围；
(3)设方程在区间内的根从小到大依次为、、…、、…，求证：．

8 . 在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求△ABC的面积；
(2)求的值；
(3)求的取值范围．

9 . 已知双曲线过点，且的渐近线方程为．

(1)求的方程；
(2)如图，过原点作互相垂直的直线，分别交双曲线于，两点和，两点，，在轴同侧．
①求四边形面积的取值范围；
②设直线与两渐近线分别交于，两点，是否存在直线使，为线段的三等分点，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．