名校
1 . 在直角坐标平面
上的一列点
，简记为
．若由
构成的数列
满足
，其中
为方向与
轴正方向相同的单位向量，则称为
点列．
（1）判断
，是否为点列，并说明理由；
（2）若为点列，且点
在点
的右上方．任取其中连续三点
，判断
的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；
（3）若为点列，正整数
，满足
，求证：
．
上的一列点，简记为．若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列．（1）判断
，是否为点列，并说明理由；（2）若
为点列，且点在点的右上方．任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若
为点列，正整数，满足，求证：．
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2020-06-26更新
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598次组卷
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7卷引用：上海市奉贤中学2018-2019学年高二上学期10月月考数学试题
名校
2 . 对于正整数集合
（
,
）,如果去掉其中任意一个元素
（
）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合
为“和谐集”.
(1)判断集合
是否为“和谐集”,并说明理由；
(2)求证：集合
是“和谐集”；
(3)求证：若集合是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
（,）,如果去掉其中任意一个元素（）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.(1)判断集合
是否为“和谐集”,并说明理由；(2)求证：集合
是“和谐集”；(3)求证：若集合
是“和谐集”,则集合中元素个数为奇数.
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2019-11-15更新
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306次组卷
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3卷引用：上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中数学试题
3 . 设S、T是R的两个非空子集，如果函数
满足：①
；②对任意
，
，当
时，恒有
，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.
（1）试写出集合
到集合R的一个“保序同构函数”；
（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；
（3）已知
是集合
到集合
的“保序同构函数”，求s和t的最大值.
满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.（1）试写出集合
到集合R的一个“保序同构函数”；（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；
（3）已知
是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.
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2019-12-12更新
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375次组卷
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2卷引用：2019年上海市高考模拟卷（三）数学试题
名校
解题方法
4 . 已知函数
，
.
（1）当
时，求函数
在
上的单调性；
（2）是否存在实数
，使得函数
在
上的最小值为3，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）当
，求证:
.
，.（1）当
时，求函数在上的单调性；（2）是否存在实数
，使得函数在上的最小值为3，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；（3）当
，求证:.
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5 . 如图，平面上定点
到定直线
的距离
，
为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为
，且
；
（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点的轨迹
的方程；
（2）过点的直线交轨迹于、
两点，交直线于点
，已知
，
，求证：
为定值.
到定直线的距离，为该平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为，且；（1）试建立适当的平面直角坐标系，求动点
的轨迹的方程；（2）过点
的直线交轨迹于、两点，交直线于点，已知，，求证：为定值.
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17-18高三上·上海浦东新·开学考试
名校
6 . 已知集合
（
，且
），若存在非空集合
，使得
，且
，并任意
，都有
，则称集合S具有性质P，
称为集合S的P子集.
（1）当
时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集
；
（2）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设
，求证：任意
，
，都有
；
（3）求证：对任意正整数，集合S具有性质P.
（，且），若存在非空集合，使得，且，并任意，都有，则称集合S具有性质P，称为集合S的P子集.（1）当
时，试说明集合S具有性质P，并写出相应的P子集；（2）若集合S具有性质P，集合T是集合S的一个P子集，设
，求证：任意，，都有；（3）求证：对任意正整数
，集合S具有性质P.
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名校
解题方法
7 . 已知奇函数
.
（1）求函数
的值域；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）若函数
在区间
上有两个不同的零点，求m的取值范围.
.（1）求函数
的值域；（2）判断函数
的单调性，并给出证明；（3）若函数
在区间上有两个不同的零点，求m的取值范围.
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名校
解题方法
8 . 如图，在三棱台
中，
，G，H分别为
，
上的点，平面
平面
，
，
.
平面
；
（2）若
，
，求二面角
的大小.
中，，G，H分别为，上的点，平面平面，，.
平面；（2）若
，，求二面角的大小.
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2020-03-04更新
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744次组卷
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6卷引用：2020届山东省青岛市胶州市高三上学期期末考试数学试题
名校
解题方法
9 . 设集合
表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为
；②对任意
，都有
（1）若函数
，证明是奇函数；并当
，
，求
，
的值；
（2）设函数
（a为常数）是奇函数，判断
是否属于，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若
，讨论函数
的零点个数.
表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，都有（1）若函数
，证明是奇函数；并当，，求，的值；（2）设函数
（a为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若
，讨论函数的零点个数.
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名校
解题方法
10 . 等比数列
的前
项和为
，已如
,
,
.
(1)求
和；
(2）证明：对任意
，
.
的前项和为，已如,,.(1)求
和；(2）证明：对任意
，.
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