1 . 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)求证：为正四面体；
(2)若，求二面角的大小；
(3)设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图倾斜角为的直线与抛物线相交于、两点.

（1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（2）若为锐角，直线AB过抛物线的焦点F，线段AB的垂直平分线m交x轴于点，求证：为定值，并求此定值；
（3）若，试问直线AB是否恒过抛物线的焦点F？若是，请证明，若不是，请说明理由.

3 . 若有穷数列满足且对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质
（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为的数列具有性质，求证：；
（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列

4 . 设数列的前项和为，若．
（Ⅰ）证明为等比数列并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，数列的前项和为，求；
（Ⅲ）求证：．

5 . 如图，在直角△中，，△通过△以直线为轴顺时针旋转120°得到（），点为线段上一点，且.

（1）求证：，并证明：平面；
（2）分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，求异面直线与所成角的大小（用反余弦运算表示）；
（3）若，求锐二面角的大小.

6 . （1）设、，，求证：；
（2）请利用二项式定理证明：.

7 . 现新定义两个复数（、）和（、）之间的一个新运算，其运算法则为：.
（1）请证明新运算对于复数的加法满足分配律，即求证：；
（2）设运算为运算的逆运算，请推导运算的运算法则.

8 . 已知直线与抛物线交于两点.
（1）求证：若直线过抛物线的焦点，则；
（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断.

9 . 已知双曲线，经过点的直线与该双曲线交于两点.
（1）若与轴垂直，且，求的值；
（2）若，且的横坐标之和为，证明：.
（3）设直线与轴交于点，求证：为定值.

10 . 设，，，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.