1 . 已知正整数为常数，且，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，且对任意正整数，恒成立.
(1)证明无穷数列为等比数列，并求；
(2)若，，求证：；
(3)当时，数列中任意不同两项的和构成集合A.设集合，中元素的个数记为，求数列的通项公式.

2 . 如图，正方体中，为底面的中心，为棱上一点．

(1)证明：平面；
(2)若平面，求证：为棱的中点．

3 . 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数，若函数的阶导数存在，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，其中为函数的阶导数．对于给定的正整数，函数的阶帕德近似是唯一的，函数的帕德近似记为．例如，．
(1)证明：当时，；
(2)当时，比较与的大小；
(3)数列满足，记，求证：．

4 . 如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点.

(1)若底面是平行四边形，求证：平面；
(2)若底面是菱形，证明：.

5 . 如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算）

6 . n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；
(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；
(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证：.

7 . 如图，在四棱柱中，四边形为直角梯形，，.过点作平面，垂足为是的中点.

(1)在四边形内，过点作，垂足为.
（i）求证：平面平面；
（ii）判断是否共面，并证明.
(2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，给出证明：若不存在，请说明理由.

8 . 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为．

(1)求证：平面；
(2)若平面与直线交于点，证明：；
(3)侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值．

9 . 如图，四边形为矩形，四边形为梯形，平面平面，，，.

(1)若为的中点，求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值的大小；
(3)设平面平面，试判断与平面能否垂直？并证明你的结论．

10 . 如图，正三棱柱中，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)当的值为多少时，平面?请给出证明．