1 . 如图，已知正四面体的底面与正四棱锥的一个侧面重合．

   

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.

2 . 如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内.

(1)若中点为，求的面积；
(2)若平面，求线段长度的最小值.

3 . 如图1，直角梯形中，，以为轴将梯形旋转后得到几何体W，如图2，其中分别为上下底面直径，点分别在圆弧上，直线平面.

   

(1)证明：平面平面；
(2)若直线与平面所成角的正切值等于，求到平面的距离；
(3)若平面与平面夹角的余弦值为，求．

4 . 如图，在四棱锥中，已知底面是边长为的菱形，，且平面，垂足为.

(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 如图，三棱柱中，，，，点为的中点，且.

   

(1)求证：平面；
(2)若为正三角形，求与平面所成角的正弦值.

6 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为.故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，N，M分别为AB，的中点，且.

(1)当点A的曲率为时证明：
①CN⊥平面；
②平面平面.
(2)当点A的曲率为时，若，求二面角的正弦值.

7 . 如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.

(1)设为棱的中点，证明：，，，四点共面；
(2)若，求六面体的体积.

8 . 如图，四棱锥中，底面是边长为4的菱形，.

(1)证明：平面平面；
(2)若与平面所成的角为，求二面角的正切值.

9 . 在正四棱柱中，已知，点分别在棱上，且四点共面，.

(1)若，记平面与底面的交线为，证明：.
(2)若，记四边形的面积为，求的最小值.

10 . 如图，在平行四边形中，，四边形为矩形，平面平面，点在线段上运动．

(1)当时，试确定点的位置并证明；
(2)在（1）的条件下，求平面与平面的夹角的余弦值．