名校
1 . 对于分别定义在
，
上的函数
，
以及实数
，若存在
，
使得
，则称函数与具有关系
.
(1)若
，
；
，，判断与是否具有关系
，并说明理由；
(2)若
与
具有关系，求的取值范围；
(3)已知
，
为定义在
上的奇函数，且满足：
①在
上，当且仅当
时，取得最大值1；
②对任意
，有
.
判断
与
是否具有关系
，并说明理由.
，上的函数，以及实数，若存在，使得，则称函数与具有关系.(1)若
，；，，判断与是否具有关系，并说明理由；(2)若
与具有关系，求的取值范围；(3)已知
，为定义在上的奇函数，且满足：①在
上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意
，有.判断
与是否具有关系，并说明理由.
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名校
2 . 对于定义在
上的函数
，如果存在一组常数
，
，…，
（为正整数，且
），使得
，
，则称函数
为“阶零和函数”.
(1)若函数
，
，请直接写出
，
是否为“2阶零和函数”；
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.
，
.
上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”.(1)若函数
，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；(2)判断“
为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.
，.
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3 . 设
，
，
，则（ ）
，，，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024-06-05更新
|
370次组卷
|
2卷引用：河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
4 . 对于函数的导函数
，若在其定义域内存在实数
，
，使得
成立，则称
是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
(1)若
，，求证：是“3跃点”函数；
(2)若
是定义在是
的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数
的范围；
(3)若
，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数
的范围．
的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．(1)若
，，求证：是“3跃点”函数；(2)若
是定义在是的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数的范围；(3)若
，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的范围．
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5 . 对于定义域为R的函数
，若存在常数
，使得
是以
为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数
是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若
，且存在
，使得
，求
的值；
(3)已知
是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和
，使得对任意
，都有
，证明：是周期函数.
，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.(1)判断函数
是否为“正弦周期函数”，并说明理由；(2)已知
是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；(3)已知
是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.
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名校
解题方法
6 . 已知O为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量
的相伴函数.
(1)求
的“相伴特征向量”；
(2)已知
，
，
为
的相伴特征向量，
，请问在
的图象上是否存在一点P，使得
，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；
(3)记向量
的相伴函数为，若当
时不等式
恒成立，求实数k的取值范围.
，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.(1)求
的“相伴特征向量”；(2)已知
，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由；(3)记向量
的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围.
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7 . 若函数在
上有定义，且对于任意不同的
，都有
，则称为上的“k类函数”．已知函数
．
(1)求曲线在点
处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若
为
上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
在上有定义，且对于任意不同的，都有，则称为上的“k类函数”．已知函数．(1)求曲线
在点处的切线方程；(2)求
的单调区间；(3)若
为上的“3类函数”，求实数a的取值范围．
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8 . 已知
(1)当
时，解关于
的不等式
；
(2)若
有两个零点
，求
的值；
(3)当
时，的最大值
，最小值为
，若
，求的取值范围.
(1)当
时，解关于的不等式；(2)若
有两个零点，求的值；(3)当
时，的最大值，最小值为，若，求的取值范围.
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9 . 已知函数和的定义域分别为和，若对任意
，恰好存在n个不同的实数
，
，…，
，使得
（其中
，2，…，n，
），则称为的“n重覆盖函数”.
(1)判断
（
）是否为
（
）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
(2)若
为
的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
(3)函数
表示不超过x的最大整数，如
，
，
，若
，
为
，
的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.(1)判断
（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；(2)若
为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；(3)函数
表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.
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10 . 对于函数和，及区间
，若存在实数
，使得
对任意
恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：
①
在区间
上优于
；
②
在区间
上优于
.
那么（ ）
和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论：①
在区间上优于；②
在区间上优于.那么（ ）
| A．①､②均正确 | B．①正确，②错误 |
| C．①错误，②正确 | D．①､②均错误 |
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