名校
1 . 设,我们常用来表示不超过最大整数.如:.
(1)求证:;(2)在锐角中,角所对的边分别为,且,则的最小值为,求的值.
(3)已知,若对,使不等式成立,求实数的取值范围.
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2 . 给出以下两个数学运算(符号)定义:
①若函数,则,其中称为函数的次迭代.如:.
②对于正整数,若被除得的余数为,则称同余于,记为.如:.
(1)若函数,求;
(2)设是一个给定的正整数,函数记集合.
①证明:当时,;
②求并猜想.
①若函数,则,其中称为函数的次迭代.如:.
②对于正整数,若被除得的余数为,则称同余于,记为.如:.
(1)若函数,求;
(2)设是一个给定的正整数,函数记集合.
①证明:当时,;
②求并猜想.
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解题方法
3 . 定义:函数满足对于任意不同的,都有,则称为上的“类函数”.
(1)若,判断是否为上的“2类函数”;
(2)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围;
(3)若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
(1)若,判断是否为上的“2类函数”;
(2)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围;
(3)若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
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2024-06-04更新
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378次组卷
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2卷引用:重庆市求精中学校2023-2024学年高二下学期第二阶段考试数学试题
名校
4 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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解题方法
5 . T性质是一类重要的函数性质,具有T性质的函数被称为T函数,它可以从不同角度定义与研究.人们探究发现,当的图像是一条连续不断的曲线时,下列两个关于T函数的定义是等价关系.
定义一:若为区间上的可导函数,且为区间上的增函数,则称为区间上的T函数.
定义二:若对,,都有恒成立,则称为区间上的T函数.请根据上述材料,解决下列问题:
(1)已知函数.
①判断是否为上的T函数,并说明理由;
②若且,求的最小值
(2)设,当时,证明:.
定义一:若为区间上的可导函数,且为区间上的增函数,则称为区间上的T函数.
定义二:若对,,都有恒成立,则称为区间上的T函数.请根据上述材料,解决下列问题:
(1)已知函数.
①判断是否为上的T函数,并说明理由;
②若且,求的最小值
(2)设,当时,证明:.
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6 . 高斯是德国著名的数学家,近代数学的奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”定义为:对于任意实数x,记表示不超过x的最大整数,则称为“高斯函数”.例如:,.
(1)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
(2)已知数列的通项公式为,设.
①求证:;
②求的值.
(1)设,,求证:是的一个周期,且恒成立;
(2)已知数列的通项公式为,设.
①求证:;
②求的值.
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7 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,证明:在上单调递增;
(3)判断与的大小关系,并加以证明.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)设,证明:在上单调递增;
(3)判断与的大小关系,并加以证明.
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名校
解题方法
8 . 已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2),将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的,都有,求实数的取值范围.
(1)求不等式的解集;
(2),将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的,都有,求实数的取值范围.
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2024-05-08更新
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309次组卷
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2卷引用:重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期第二阶段性学业质量联合调研抽测(5月)数学试题
名校
9 . 已知与都是定义在上的函数,若对任意,,当时,都有,则称是的一个“控制函数”.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的控制函数;若不存在,请说明理由.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的控制函数;若不存在,请说明理由.
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名校
10 . 某学校有一四边形地块,为了提高校园土地的利用率,现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地.如图所示,,是中点,分别在、上,拟作为花草种植区,四边形拟作为景观欣赏区,拟作为谷物蔬菜区,和拟建造快速通道,,记.(快速通道的宽度忽略不计)(1)若,求景观欣赏区所在四边形的面积;
(2)当取何值时,可使快速通道的路程最短?最短路程是多少?
(2)当取何值时,可使快速通道的路程最短?最短路程是多少?
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