1 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质．
(1)若函数具有性质，求：的值；
(2)设，求证：存在常数，使得具有性质；
(3)若函数具有性质，且的图像是一条连续不断的曲线，求证：函数的值域为．

2 . 求下列函数的值域：
(1)；
(2)．

3 . 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为（）．对幂指函数求导时，可以将函数“指数化”再求导，例如：对于幂指函数，有．
(1)已知，求曲线在处的切线方程；
(2)若且，研究函数的单调性；
(3)已知m，n，s，t均大于0，且，讨论和的大小关系．

5 . 若函数对定义域上的每一个值，在其定义域上都存在唯一的，使成立，则称该函数在其定义域上为“依赖函数”.
(1)判断函数在上是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求实数的值；
(3)当时，已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

6 . 给出以下三个材料：
①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似的，函数的二阶导数的导数叫做函数的三阶导数，记作，函数的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数的阶导数的导数叫做函数的n阶导数，记作，；
②若，定义；
③若函数在包含的某个开区间上具有任意阶的导数，那么对于任意有，我们将称为函数在点处的泰勒展开式.
例如在点处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出在点处的泰勒展开式；
(2)用在点处的泰勒展开式前三项计算的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知，试求的值.

8 . 莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数
(1)求；
(2)记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，
①若，求；
②若且，求．

10 . 已知．
(1)若，求的最大值，并求出此时的值；
(2)若且，求的最大值．